E&M y geometría: una perspectiva histórica

Recientemente, estuve contemplando la hermosa formulación del electromagnetismo (específicamente las ecuaciones de Maxwell) en términos de formas diferenciales:

F = d A ⟹ d F = 0 y d ⋆ d F = m 0 j
Empecé a pensar en la historia de esta forma de ver las cosas y me di cuenta de que no sé mucho al respecto. Por lo tanto, mi primera pregunta fue: ¿Ya se sabía en la época de Maxwell (o poco después) que el electromagnetismo podía moldearse en esta forma geométrica? ¿Cómo se introdujo por primera vez y quién lo hizo?

Después de consultar el tratado de Maxwell, quedó claro que al menos el propio Maxwell no estaba al tanto de esta formulación. Pero tal vez alguien más reconoció inmediatamente la formulación geométrica una vez que Maxwell publicó sus resultados...

En los tiempos modernos, a uno, al menos como físico, generalmente se le presenta por primera vez el tensor de intensidad de campo F a través de la formulación covariante de la ecuación de Maxwell usando cálculo tensorial, donde se define como F m v = ∂ m A v − ∂ v A m . Cuando uno aprende sobre formas diferenciales, etc., entonces es obvio que F = d A y la formulación geométrica se sigue con bastante naturalidad. Sin embargo, ¿fue este también el caso históricamente? ¿Se les ocurrió a 'ellos' la formulación del cálculo tensorial de F primero, y sólo entonces reconocieron la descripción geométrica? ¿O se descubrió primero la descripción geométrica? Otra posibilidad es que fue necesaria la introducción de la relatividad general de Einstein para que alguien se diera cuenta de que los campos se pueden interpretar en términos de geometría.

En conclusión, me interesa una descripción cronológica del desarrollo de las diferentes formulaciones del electromagnetismo, con énfasis en los siguientes puntos:

  1. ¿A quién se le ocurrió por primera vez la formulación geométrica en términos de formas diferenciales?
  2. ¿Se sabe en absoluto cómo llegó esta persona a esto?
  3. ¿Se descubrió la interpretación geométrica antes de que el cálculo tensorial se hiciera popular, o solo después de que se supiera que F m v = ∂ m A v − ∂ v A m ? ¿Fue esto después de la introducción de GR, y estuvo influenciado en absoluto por el trabajo de Einstein?
También puede encontrar interesante aquí el cálculo geométrico, basado en el álgebra de Clifford. Se las arregla para tomar esas ecuaciones de espacio libre para el campo EM y unirlas en una sola ecuación.
¿Se les ocurrió a 'ellos' la formulación de cálculo tensorial de F primero, y sólo entonces reconocieron la descripción geométrica? Diría que una formulación tensorial es geométrica.
Gran pregunta. Enlacé aquí desde otro sitio.

Respuestas (1)

Pasando poruna bola 8 mágica una breve búsqueda en la web , los pasos más importantes hacia la geometrización del electromagnetismo (es decir, su formulación como una teoría clásica de Yang-Mills en términos de conexiones principales) deberían ser:

  • Ecuaciones de Maxwell: James Clerk Maxwell, Una teoría dinámica del campo electromagnético (1865)

  • formas diferenciales: Élie Cartan, Sur Certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff (1899)

  • relatividad especial: Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper (1905)

  • invariancia de calibre: Hermann Weyl, Elektron und Gravitation I (1929)

No estoy seguro del siguiente:

  • paquetes principales: Henri Cartan, Séminaire Henri Cartan, 2 (1949-1950)

  • Teoría de Yang-Mills: Chen Ning Yang y Robert Mills, Conservación del espín isotópico y la invariancia del calibre isotópico (1954)

  • Ecuación de Wong: SK Wong, Ecuaciones de campo y partículas para el campo clásico de Yang-Mills y partículas con espín isotópico (1970)

De hecho, no sé a quién hay que culpar por la teoría clásica de Yang-Mills, es decir, ponerlo todo junto.

Esta es una respuesta wiki, así que siéntase libre de agregar o modificar la lista como mejor le parezca.

No estoy seguro de que uno tenga que pensar en ello como una teoría de calibre para llegar a la formulación en términos de formas diferenciales. Maxwell ni siquiera tenía disponible nuestra notación para el cálculo vectorial, por lo que estaba muy lejos de las formas diferenciales. Puede haber sido posible formularlo de esta manera alrededor de 1900, pero supongo que no sucedió hasta después de que apareció la relatividad especial, cuando la gente supo buscar la invariancia de Lorentz (¿covarianza?).
@ gn0m0n: claro, no es necesario usar la teoría de calibre solo para usar formas diferenciales; pero la pregunta (o al menos su título) se refería a EM y geometría , y geométricamente, el potencial vectorial y la intensidad de campo no son solo algunas formas arbitrarias, sino una conexión principal y la curvatura correspondiente
Claro que lo son... Acabo de tomar la pregunta de cuando la formulación en términos de diff. ocurrieron formas, y estaba especulando que podría haber sucedido antes de que la gente pensara en el potencial del vector y la intensidad del campo en términos de haces de fibras. Si eso realmente sucedió o no, no lo sé.
Según mers.byu.edu/docs/thesis/phddiss_warnick_lib.pdf ("UN ENFOQUE DE FORMAS DIFERENCIALES PARA LA ELECTROMAGNÉTICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS" por Warnick), "Weyl y Poincaré expresaron las leyes de Maxwell usando formas diferenciales a principios de este siglo" (parte superior de la pág. 103). Él podría decir más que eso. El libro de Flanders apareció en 1963 y ciertamente incluía un tratamiento de E&M. Él podría decir algo sobre la historia en él.
También podría estar interesado en sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900276 (La historia de las formas diferenciales desde Clairaut hasta Poincaré) o math.toronto.edu/mgualt/wiki/samelson_forms_history.pdf (Formas diferenciales, los primeros días) pero no parecen abordar cuándo se usaron por primera vez para E&M.
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