Ecuación de temperatura local para un planeta

Después de ver en la ciencia ficción demasiados planetas con dos soles que se parecen demasiado a un sistema geocéntrico, estoy intentando, para mi propia diversión, comprender si es realmente posible tener un planeta con dos soles que pueda albergar vida y cuán diferente será. ser de nuestro planeta.

Dado que encontrar una solución de 3 cuerpos que tenga órbitas estables y temperaturas estables para el planeta es realmente difícil, decidí reducir las opciones y hacer un poco de trampa. Observé otro sistema de 3 cuerpos que todos conocemos y es lo suficientemente estable como para durar unos miles de millones de años: Sol-Tierra-Luna. Para ampliarlo, la idea es tener un planeta que gire alrededor de una enana roja (Estrella 1), que a su vez orbite alrededor de una gigante azul (Estrella 2). Para ser realista, el planeta debería estar fijado por mareas a la enana roja (y eso también debería simplificar los cálculos). Para simplificar aún más la situación, imaginé que el planeta era como la Tierra: misma masa, densidad, albedo, composición, inclinación, etc.

Dejar$\alpha$ser la latitud (0 en el ecuador, 90° en el polo norte),$\beta$la longitud (0 en el polo caliente, donde la enana roja brilla perpendicular al suelo) y$\delta = 23.5^{\circ} \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau_2} t \right)$la inclinación del planeta con respecto a la estrella 2, donde$\tau$es el periodo orbital.

Donde brilla la estrella 1 tiene un ángulo fijo con el acimut

$$\sin(\gamma_1) = \cos(\alpha) \cos(\beta)$$ mientras que Star 2 tiene un ángulo variable $$\sin(\gamma_2(t)) = \sin(\alpha) \sin(\delta) - \cos(\alpha) \cos(\delta) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau_1} t - \beta \right)$$ dónde $t = 0$significa que es medianoche a las $\beta = 0$. Dado que la Estrella 2 es una gigante azul, el período es lo suficientemente grande como para que la dependencia del tiempo de $\delta$es insignificante y puede tratarse como una constante para las variaciones diarias.

Las horas de salida y puesta del sol se pueden calcular solicitando que$\sin(\gamma_2) = 0$:

• Si$\delta = 0$, después$t_{sr} = \tau_1 \left( \frac{1}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$y$t_{ss} = \tau_1 \left( \frac{3}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$.
• Si$\delta > 0$después:
  • Si$- \frac{1}{\tan(\delta)} \le \tan(\alpha) \le \frac{1}{\tan(\delta)}$después$t_{sr} = \frac{\tau_1}{2 \pi} \arccos(\tan(\alpha) \tan(\delta)) + \frac{\tau_1 \beta}{2 \pi}$y$t_{ss} = \tau_1 - t_{sr}$
  • Si$\tan(\alpha) > \frac{1}{\tan(\delta)}$entonces Star 2 siempre brilla
  • Si$\tan(\alpha) < -\frac{1}{\tan(\delta)}$entonces la estrella 2 nunca brilla
• Si$\delta < 0$entonces: como arriba, excepto que se intercambian el segundo y el tercer caso

Puedo evaluar una temperatura media mirando las constantes estelares$I_1$y$I_2$y comparando su suma con nuestra constante solar para obtener una temperatura media para una cierta latitud y longitud. Esto ayuda un poco, pero el problema es que es una buena estimación solo si$\tau_1$es lo suficientemente similar al período de la Tierra. Una temperatura media en la Tierra significa que las temperaturas mínimas y máximas suelen estar a menos de 10 K de la temperatura media, pero si$\tau_1$cuanto más grande el planeta tiene más tiempo para absorber calor durante el "día" y liberar calor durante la "noche", ampliando la diferencia.

Mi segundo enfoque fue establecer una ecuación diferencial:

• La energía total es$\mbox{d}E_{tot} = c m\,\mbox{d}T$, dónde$c$es el calor específico y$m$la masa donde se almacena el calor.
• La energía entrante es$\mbox{d}E_{in} = a (1-A) (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) \mbox{d}t$, dónde$a$es un área y$A$el albedo del planeta
• La energía saliente es$\mbox{d}E_{out} = \sigma a T^4 \mbox{d}t$(Ley de Stefan-Boltzmann)

La ecuación resultante es:

$$\frac{\mbox{d}T}{\mbox{d}t} = \frac{a (1-A)}{c m} (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) - \frac{\sigma a}{c m} T^4$$

dónde$I_1 = 0$en el lado oscuro y$I_2= 0$cuando la Estrella 2 no es visible. Esto significa que esta ecuación es realmente 4 ecuaciones diferentes.

Este enfoque tiene dos grandes problemas: primero los parámetros$c$,$m$,$a$parece ser fácil de definir cuando se habla de un planeta completo, pero bastante difícil cuando analizamos solo una pequeña porción. En segundo lugar, y más importante, la ecuación parece irresoluble al menos cuando la Estrella 2 es visible. En general, es una ecuación diferencial de Chini (ver aquí ). Cuando ambas estrellas no son visibles, se convierte en una ecuación de Bernoulli y la solución es fácil de encontrar; cuando solo se ve la estrella 1, la invarante de Chini es constante ($C=0$para ser precisos), por lo que también hay una solución precisa para ese caso. Sin embargo, cuando Star 2 es visible, parece que no hay forma de encontrar una solución. Entonces, después de este muro de texto, mi pregunta es:

• ¿Hay alguna forma de calcular la solución explícita de la ecuación?
• Alternativamente, ¿existe un mejor enfoque del problema que pueda conducir a una solución? Para resumir, estoy interesado en calcular la temperatura mínima y máxima para una latitud, longitud, inclinación y período orbital determinados.$\tau_1$. La temperatura en cada instante es solo una ventaja, no una característica necesaria.

Editar : he realizado algunas simulaciones por computadora y parece funcionar, pero necesita algunas calibraciones debido a los parámetros no tan significativos y al efecto invernadero, que actúa solo sobre la radiación térmica emitida. El modelo aún no tiene en cuenta la redistribución del calor debido a los flujos de aire y agua, pero esto probablemente sea demasiado complicado para incluirlo en el modelo. Algunas parcelas para la Tierra (1 estrella,$\tau = 1$día) se puede ver en esta galería . La línea azul indica el amanecer, la línea roja el atardecer, la línea verde es la temperatura instantánea, la línea amarilla es la temperatura promedio y el campo de flechas debería dar una idea de las pendientes que produce la ecuación diferencial, pero siempre parece menos inclinada que la curva verde.

El gráfico se produce con una condición de periodicidad: el algoritmo comienza con una temperatura de 300 K y pasa por varios días hasta que la temperatura al comienzo del día coincide con la temperatura al final del día. La variación estacional es lo suficientemente lenta como para que sea una buena aproximación.