Ecuación de dinámica rotacional a partir de marcos no inerciales

Las ecuaciones de movimiento de aceleración traslacional y rotacional desacopladas

$$\begin{aligned} m \boldsymbol a &= \sum_i \boldsymbol F_i \\ \mathbf I \frac{d\boldsymbol\omega}{dt} &= \sum_i \boldsymbol \tau_i - \boldsymbol \omega\times(\mathbf I \times \boldsymbol \omega) \end{aligned}$$ sólo es válido para la rotación sobre el centro de masa. Si elige cualquier otro punto como punto de interés, deberá utilizar las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler, mucho más complejas . Al usar estas formas más complicadas, no importa un poco si se elige que el punto de interés esté dentro o fuera del cuerpo.

Las ecuaciones de movimiento

Traducción

$$\begin{align*} &m\,\ddot{\vec{R}}=\sum_{cm} F\qquad(1)\\ &\text{with:}\\ &\vec{R}_o=\vec{R}+S\,\vec{u}\\ &\vec{\dot{R}}_o=\vec{\dot{R}}+\dot{S}\,\vec{u}\\ &\vec{\ddot{R}}_o=\vec{\ddot{R}}+\ddot{S}\,\vec{u}\\ &\text{and}\\ &\dot{S}=S\,\tilde{\vec{\omega}}\\ &\ddot{S}=S\,\tilde{\vec{\dot{\omega}}}+\dot{S}\,\tilde{\vec{\omega}}= S\,\tilde{\vec{\dot{\omega}}}+S\,\tilde{\vec{\omega}}^2\\\\ &\text{$S$ is the rotation matrix between body coordinate system and inertial system }\\ &\text{$S$ can be constructed out of the euler angels $\varphi_i$},\quad S=S(\vec{\varphi})\\ &\text{and}\\ &\vec{\omega}\times \vec{u}=\begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ \omega_y & \omega_x & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \\ \end{bmatrix}\equiv\tilde{\vec{\omega}}\,\vec{u}\\ &\Rightarrow\\ &m\,\ddot{\vec{R}}=\sum_{cm} F\mapsto\\ &m\,\ddot{R}_o-m\,S\,\left(\tilde{\vec{\dot{\omega}}}+\tilde{\vec{\omega}}^2\right)\,\vec{u}=\sum_{cm} F\qquad(2)\\ &\text{multiply equation (2) from the left with $s^T$}\\ &m\,\ddot{R}_B-m\,\,\left(\tilde{\vec{\dot{\omega}}}+\tilde{\vec{\omega}}^2\right)\,\vec{u}=S^T\,\sum_{cm} F\qquad(3)\\ &\text{with } \ddot{R}_B=S^T\,\ddot{R}_o \end{align*}$$

Rotación

$$\begin{align*} &I_{cm}\,\vec{\dot{\omega}}+\tilde{\vec{\omega}}\,I_{cm}\,\vec{\omega}=\sum_{cm} \tau\qquad(4)\\ &\text{if we go from center of mass coordinate system to $o$ coordinate system we obtain }\\ &I_{o}\,\vec{\dot{\omega}}+\tilde{\vec{\omega}}\,I_{o}\,\vec{\omega}=\sum_{cm} \tau+\tilde{\vec{u}}\,\sum_{cm} F\qquad(5)\\ &\text{with the inertia tensor } I_o=I_{cm}+m\,\tilde{\vec{u}} \end{align*}$$ \newpage Ecuación (3) y (5) $$\begin{align*} & \begin{bmatrix} m\,E_3 & m\,\tilde{\vec{u}} \\\\ 0 & I_o \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\vec{R}}_B \\\\ \dot{\vec{\omega}} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} m\,\tilde{\vec{\omega}}^2\,\vec{u}+S^T(\vec{\varphi})\,\sum_{cm} F \\\\ -\tilde{\vec{\omega}}\,I_{o}\,\vec{\omega}+\sum_{cm} \tau+\tilde{\vec{u}}\,\sum_{cm} F \\ \end{bmatrix}\quad ,\text{and}\quad \dot{\vec{\varphi}}=A(\vec{\varphi})\,\vec{\omega}\\\\ &\text{The position vector in inertial system $\vec{R}_o$ can be obtain out of}\\ &\ddot{\vec{R}}_o=S\,\ddot{\vec{R}}_B\quad \Rightarrow\\ &\dot{\vec{R}}_o=\int\left(S(\vec{\varphi})\,\ddot{\vec{R}}_B\,dt\right)+\dot{\vec{R}}_o(0)\\ &\vec{R}_o=\int\left(\dot{\vec{R}}_o\right)+\vec{R}_o(0) \end{align*}$$