Duración de la órbita del satélite a la sombra de la Tierra

Supongamos que la luz del Sol es paralela, entonces la sombra de la Tierra se ve así:

La línea punteada es la órbita del satélite a una altura$h$(He exagerado un poco la altura para que el diagrama sea más claro). Todo lo que tenemos que hacer es calcular el ángulo.$\theta$, porque el tiempo que el satélite está en la sombra de la Tierra es simplemente:

$$t = \tau \frac{2\theta}{2\pi} \tag{1}$$

dónde$\tau$es el periodo del satélite. Debería ser obvio del diagrama que la distancia que he etiquetado como$d$es igual al radio de la Tierra,$r$, y por lo tanto:

$$(r + h) \sin\theta = r$$

o:

$$\theta = \arcsin \left( \frac{r}{r + h} \right) \tag{2}$$

Finalmente el período del satélite ,$\tau$, es dado por:

$$\tau = 2\pi\sqrt{\frac{(r+h)^3}{GM}} \tag{3}$$

dónde$M$es la masa de la tierra y$G$es la constante de Newton .

Juntando todo esto, para un satélite a 1000 km, la ecuación 2 nos da el ángulo$1.044$radianes (59.8°), y la ecuación 3 nos da el período$\tau = 105.15$minutos. Introducir estos resultados en la ecuación 1 nos dice que el tiempo que el satélite está en la sombra de la Tierra es$34.9$minutos.