Dos cuerpos de tamaño finito tratados como dos masas puntuales en la gravedad newtoniana

Ciertamente, esta no es la verdad absoluta, ya que cada ser humano en este planeta es un testigo viviente del hecho de que la Tierra no es un punto: tiene un volumen finito.

Sin embargo, hay una muy buena razón matemática por la que podemos considerar el sol y la Tierra como puntos cuando hacemos cálculos de mecánica celeste: es porque el campo gravitatorio debido a un cuerpo esférico como el sol, cuando se ve desde fuera del sol , es idéntico a el de una carga gravitatoria puntual con la misma masa que el sol. Esto se llama el teorema de la capa , y es una consecuencia de la ley de Gauss para la gravedad , y un resultado muy similar se cumple en el contexto del electromagnetismo (donde el nombre de la ley de Gauss es más famoso). Este es un ejercicio elemental que muchos estudiantes universitarios deben derivar en su primer curso de E&M.

Las ecuaciones relevantes son:

Uno puede ver de inmediato que esencialmente le están diciendo lo mismo, hasta algunas constantes de proporcionalidad, por lo que se espera que se mantenga un resultado similar para ambos.

Hay una gran advertencia : los planetas y las estrellas, por supuesto, no tienen una simetría esférica perfecta, por lo que, después de todo, realmente estamos tratando con una aproximación. De hecho, como se señaló en los comentarios, es prácticamente imposible lograr una simetría esférica perfecta, por lo que no se debe esperar que nuestro resultado se mantenga exactamente en la realidad, aunque a menudo es extraordinariamente cercano. Sin embargo, esto no se debe a que los cuerpos no sean puntuales, sino a su falta de simetría.

Todos los objetos de tamaño finito actúan como masas puntuales a distancias suficientemente grandes. Un objeto tridimensional de tamaño finito de masa.$M$tiene una esfera delimitadora mínima única con algo de radio$r$y centro$c$. Para cualquier distancia$R>r$desde el centro, la magnitud de la fuerza gravitacional sobre un pequeño cuerpo de prueba de masa$m$está delimitado por$\frac {GMm}{(R+r)^2} \le F \le \frac {GMm}{(R-r)^2}$, y la fuerza se dirige hacia el objeto central, más o menos$\arcsin\left(\frac r R\right)$. Como$R$crece cada vez más, esto converge a la fuerza gravitatoria ejercida por una masa puntual de masa$M$situado en$c$.

Un objeto con una distribución de masa esférica (la densidad es una función solo de la distancia desde el centro del objeto) se ve como una masa puntual en todas partes fuera del objeto. Otros objetos no parecen masas puntuales a distancias cortas. Por ejemplo, un objeto grande giratorio tendrá una forma más o menos parecida a la de un esferoide achatado (es decir, tendrá una protuberancia ecuatorial). A distancias cercanas, esa protuberancia ecuatorial resultará en desviaciones de un modelo de masa puntual. Estas salidas pueden ser significativas e importantes. Por ejemplo, la protuberancia ecuatorial de la Tierra es lo que nos permite tener satélites en órbitas sincronizadas con el sol.

Este abultamiento ecuatorial no es más que el primero de un número infinito de términos en la expansión armónica esférica del campo gravitatorio de un objeto. El uso de armónicos esféricos es un enfoque comúnmente utilizado para modelar un objeto no esférico. Que haya, en teoría, un número infinito de términos presenta un desafío con respecto al modelado. Por lo general, una aproximación de armónicos esféricos se trunca en algún grado y orden. Para objetos de extremo interés (p. ej., la Tierra), ese grado y orden puede ser bastante alto. El modelo GRACE de la gravedad de la Tierra está completo en grado y orden 360. Una agencia de EE. UU. que anteriormente era altamente clasificada, la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial, lleva esto aún más lejos. Han desarrollado un modelo de gravedad de armónicos esféricos de 2190x2159 de la Tierra .

Incluso ese 2190x2159 es un poco tosco en comparación con los elementos de interés para un geofísico. La academia produce muchos más geofísicos de los que necesita la academia, y gran parte de ese excedente encuentra trabajo en las industrias petroquímica o minera. Las desviaciones locales de la aceleración gravitatoria sugerida por un esferoide achatado son indicadores clave de que hay petróleo, oro o algún otro recurso precioso escondido bajo tierra. Estas desviaciones también pueden ser de interés académico. Por ejemplo, las anomalías gravitatorias forman una de las piezas clave de evidencia de que el continente norteamericano casi se partió en dos hace 1.100 millones de años en el Midcontinent Rift System.

Más lejos, la Luna tampoco se parece en nada a una masa puntual a distancias cercanas. Por ejemplo, la misión Apolo 16 lanzó un objeto pequeño, PFS-2, en órbita alrededor de la Luna, cuya intención era orbitar la Luna y medir las partículas cargadas y el campo magnético de la Luna. PFS-2 estaba destinado a estar en una órbita lunar baja más o menos circular alrededor de la Luna. Eso no es lo que pasó. En cambio, sucedió algo extraño . Después de 35 días de extraños cambios en su órbita, PFS-2 se estrelló contra la Luna.

Una aproximación de armónicos esféricos truncados funciona bastante bien para cuerpos grandes porque los términos de orden superior tienden rápidamente a cero para cuerpos grandes. Solo se necesitan unos pocos términos para describir un gigante gaseoso o una estrella. Se necesitan muchos más términos para describir con precisión un cuerpo del tamaño de la Tierra, e incluso más términos para describir un cuerpo del tamaño de la Luna. Los objetos cada vez más pequeños exhiben cada vez más desviaciones de la esfericidad. En algún momento, el enfoque de armónicos esféricos simplemente no funciona tan bien. Un enfoque alternativo utilizado para cuerpos pequeños del sistema solar es utilizar una imagen 3D del objeto. Los modelos de gráficos por computadora tienden a usar poliedros para describir la forma 3D de un objeto. Comenzando con Barnett, "Modelado teórico de los campos magnéticos y gravitacionales de un cuerpo tridimensional de forma arbitraria",Geophysics 41.6 (1976): 1353-1364 , estos modelos poliédricos de gravedad resultan bastante útiles para describir la gravedad de un cuerpo pequeño (del tamaño de un asteroide).

Las masas puntuales son simplemente una aproximación del movimiento de un cuerpo extendido por el movimiento de su centro de masa. Es una buena aproximación para cuerpos pequeños, en su mayoría homogéneos (al menos con capas esféricas), por ejemplo, planetas que se mueven alrededor del sol. Pero incluso para el movimiento orbital de la Luna alrededor de la Tierra ya no es una buena aproximación.