¿Dónde vive la función de onda del universo? Por favor describe su hogar

La función de onda vive en el café cuántico, vea el segmento desde las 3:40 más o menos hasta el final de

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Más en serio, una función de onda es un nombre más especial del "vector de estado" que es el elemento del espacio de Hilbert${\mathcal H}$, un espacio vectorial complejo con un producto interno. El espacio de Hilbert de todos los sistemas realistas es de dimensión infinita; para una dimensión infinita, uno realmente no puede decir si la base es contable o tan grande como un continuo porque estas dos bases son en realidad completamente equivalentes.

Los espacios de Hilbert de dimensión finita solo se utilizan como modelos de juguete simplificados para algunos aspectos de algunos sistemas físicos. Pero siguen siendo muy importantes en la teoría y la práctica porque las situaciones realistas a menudo se componen de pequeños espacios de Hilbert similares al tomar productos tensoriales. Los espacios de Hilbert bidimensionales (por ejemplo, spin-up vs spin-down) parecen muy simples pero ya son muy ricos y se utilizan como herramientas para enseñar mecánica cuántica. La computación cuántica suele tener lugar en espacios de Hilbert para$N$qubits que es$2^N$-dimensional, también de dimensión finita. Se supone que los infinitos estados restantes de un sistema físico real son inaccesibles, por lo que podemos "truncar" el espacio de Hilbert. Pero tenga en cuenta que los sistemas tan simples como un electrón que orbita alrededor de un protón o un oscilador armónico ya tienen un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

El espacio de Fock es un tipo especial de espacio de Hilbert. Es el espacio de Hilbert de una teoría de campo libre o, de manera equivalente, un oscilador armónico de dimensión infinita. Por lo general, también se define el hamiltoniano libre, bilineal, en el espacio de Fock. Si no decimos que hay un hamiltoniano, la identidad del espacio de Fock en realidad no tiene sentido porque todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita son isomorfos o "equivalentes unitarios" entre sí.

Entonces, el espacio de Fock no es realmente "algo completamente diferente" (o más grande) que el espacio de Hilbert; es un caso especial de eso. Lo mismo se aplica a los espacios de Hilbert asociados con cualquier teoría que se te ocurra (que describa el mundo que nos rodea o describa un mundo ficticio o hipotético), ya sea el modelo estándar, el modelo estándar mínimo supersimétrico o, la teoría más completa, Teoria de las cuerdas. Todas estas teorías, al igual que cualquier otra teoría con respecto a los postulados de la mecánica cuántica, tienen su propio espacio de Hilbert y todos estos espacios de dimensión infinita en la teoría de cuerdas o un oscilador armónico de dimensión infinita simple o incluso un átomo de hidrógeno simple son en realidad isomorfos entre sí. otro.

Además, se debe mencionar que el estado real del sistema físico no está dado por toda la información incluida en un elemento del espacio de Hilbert. La fase y la normalización absoluta, es decir, el factor multiplicativo completo que puede ser complejo, no es físico. Entonces, el espacio de "estados puros" no equivalentes es en realidad el cociente${\mathcal H}/{\mathbb C}^*$.

Además de las "funciones de onda", es decir, estados puros que son elementos del espacio de Hilbert, hasta una normalización, también se puede describir un sistema físico mediante una "matriz de densidad" más general que vive en el espacio de las matrices hermitianas.$\rho$. Para estados puros,$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$y la fase se cancela. Sin embargo, también hay estados mixtos más generales que son superposiciones de términos similares.

La palabra "espacio" en matemáticas no es el mismo objeto ontológico que el espacio físico. Es una especie de equivalente a preguntar, en la física clásica, ¿dónde se encuentra el espacio de todos los vectores de velocidad? No es que en realidad estén en algún lugar "allá afuera", son solo abstracciones matemáticas de las cuales se puede extraer información útil y se pueden hacer inferencias en cantidades medibles que son análogas a la abstracción. Un espacio vectorial (¡existen Hilbert, Fock y muchas otras variaciones de espacios vectoriales!) es un objeto matemático que hace convenientes muchos cálculos que se pueden hacer con conjuntos de números (vectores, matrices, tensores, etc.) dotados de capacidad humana. inventó propiedades algebraicas (cierre, conmutatividad, asociatividad, etc...).