Distribución de temperatura en una columna de aire.

ADVERTENCIA: estoy dando un posible cálculo, pero creo que la respuesta puede estar errada por un factor de 2x (en comparación con la tasa de caída observada en la atmósfera). Lo dejo aquí para que lo medites. Tal vez pueda inspirarte a encontrar la solución correcta por ti mismo. O tal vez la diferencia se deba al hecho de que este cálculo no asume la convección, por lo que no se aplican los términos de expansión adiabática en la derivación de la tasa de caída.

Si la columna de aire está sellada, probablemente deberíamos asumir que no hay mucho flujo de aire. En el estado estacionario, podemos usar la conservación de la energía para resolver esto.

Primero, suponga que la suma de la energía cinética y potencial (media) de las moléculas es constante, independiente de la altura. Sabemos que a una temperatura dada la energía cinética de un gas diatómico ligero (como la mayoría de los componentes del aire) es

Donde el factor 5 proviene de 5 grados de libertad (3 traslación, 2 rotación). Ahora la energía potencial para una molécula de masa$m$es$PE = m~g~h$. Para el aire utilizaremos una masa "media" de 28,8 uma (20% oxígeno, 80% nitrógeno; ignorando CO2, agua, argón,...). Si la suma de$KE+PE$es constante, entonces

Esto significa que habrá un cambio lineal en la temperatura con la altura:

Poniendo números, obtenemos

lo que resulta en un cambio de temperatura de 1 K por cada 70 metros. En realidad, la pendiente en la atmósfera (según esta página de la NASA ) es de unos 0,00649 K/m

Eso es aproximadamente un factor 2x fuera de mi cálculo. No sé qué suposición simplificadora estoy haciendo (o si simplemente hay un error aritmético en mi trabajo).

Para saber si una columna de fluido está en equilibrio, toma un elemento fluido en cualquier lugar de la columna, lo desplaza una pequeña cantidad (en comparación con la altura de la columna) en cualquier dirección y observa qué fuerzas actúan sobre él; si las fuerzas son tales que empujan (o jalan) el elemento de fluido de regreso a su posición inicial, entonces se puede decir que la columna de fluido está en equilibrio. Bajo la acción de la gravedad, verificamos el desplazamiento a lo largo de la dirección vertical. Las fuerzas que actúan sobre el paquete de fluido desplazado se deben a que la densidad del paquete de fluido es diferente de la de su entorno. Por lo tanto, necesitamos saber cómo cambia la densidad del paquete de fluido cuando se desplaza. Para eso, debemos asumir algún proceso termodinámico por el que pasa el elemento fluido cuando se desplaza.

Para una columna de fluido corta, podemos asumir con seguridad que el proceso de desplazamiento es isobárico. Además, si el fluido es de una sola fase, de un solo componente, entonces, y solo entonces, la densidad del fluido se vuelve función de su temperatura solo, por lo que puede decir "el aire caliente sube y el aire frío se hunde". Esta es la situación que más nos encontramos en la vida cotidiana.

Sin embargo, puede configurar fácilmente una configuración de fluido estable "fría en la parte superior, tibia en la parte inferior" usando, por ejemplo, agua sobre salmuera o aceite sobre agua, con el fluido inferior calentado a una temperatura adecuada. Mi punto es que el hecho de que el sistema sea estable no implica que el fluido inferior esté más frío que el fluido superior (y viceversa). Siempre debes comparar la densidad.

Si la columna de fluido es muy alta, como en la atmósfera, la presión disminuye con la altura y la suposición de un proceso de desplazamiento isobárico no sería adecuada. Por lo general, se supone un proceso de desplazamiento adiabático reversible (es decir, isentrópico), y esto se justifica diciendo que el aire es un mal conductor del calor, en el momento en que se produce el desplazamiento de un elemento fluido, perdería una cantidad insignificante de calor. Si una parcela de aire se desplaza hacia arriba, debido a la disminución de la presión, su temperatura y densidad disminuyen (recuerde,$p/\rho ^\gamma=$constante). La pregunta es si la densidad ha disminuido hasta el punto de ser menor que la densidad atmosférica en ese nivel; si es así, la columna es inestable; de ​​lo contrario, estable. El mismo cálculo también debe repetirse para el desplazamiento hacia abajo (solo para estar seguro), pero la lógica es la misma.

Para obtener más detalles, lea cualquier libro sobre termodinámica atmosférica.

Esperaría un sistema isoterma ya que la difusión, la conducción de calor y la radiación deberían eliminar cualquier diferencia en el sistema adiabático después de un tiempo.

La razón por la que la atmósfera de la Tierra tiene un gradiente de temperatura es que la Tierra no es adiabática, sino que tiene una fuente de calor en el suelo (calentada por el sol), así como cierta absorción en la atmósfera (probablemente en función de la presión). o altura)).

Una respuesta más simple sería la ley de Boyle:

dado que el volumen permanece constante, una primera aproximación sería$T2=P_2T_1/P_1$y usando$P_2=P_1-\text{density}\cdot\text{height}\cdot\text{gravity}$. Una respuesta más completa necesitaría que la densidad se corrigiera por la temperatura a través de la columna