Distinción entre estos conceptos de momento angular estrechamente relacionados

$\vec{J}$se usa comúnmente para el momento angular "total". En la gran mayoría de los casos, es "momento angular orbital más giro", en otras palabras:

$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$

Pero podría usarse para cualquier suma de momentos angulares.

---

Esa fue la respuesta corta; pero, ¿cómo se agrega realmente el momento angular?

Cuando trabajas con giros, ya no estás trabajando en un espacio de Hilbert, sino en un espacio más complejo, dado por

$$\mathcal{H}\otimes\mathbb{C}^n$$

n es la dimensión de espín. para el tipico$s=½$caso,$m_s$tiene dos posibilidades ($\pm ½$, o "arriba" y "abajo", entonces $n=2).

• Entonces$\vec{L}$actúa sobre el espacio de Hilbert.
• $\vec{S}$actúa sobre$\mathbb{C}^2$.
• $\vec{J}$actúa sobre$\mathcal{H}\otimes\mathbb{C}^2$

La forma en que esto funciona es "extensión con las identidades":

$$\vec{J}=\vec{L}\otimes \mathbb{I}_S + \mathbb{I}_H\otimes \vec{S}$$

Así que esto es básicamente "J significa aplicar$\vec{L}$a la parte de Hilbert, dejando el giro solo; y luego actuar con$\vec{S}$en la parte giratoria, sin tocar la otra". Por eso nos da flojera escribir todo eso, y solo usamos

$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$