Direcciones de corriente del circuito RC sin fuente

Question

Direcciones de corriente del circuito RC sin fuente

MaxMil

Tengo el siguiente circuito:

El libro de texto dice que el capacitor está inicialmente cargado, pero las direcciones de corriente se seleccionaron como en el esquema, ¿por qué? Si el capacitor está cargado y "+" está en el nodo superior, entonces el capacitor debe ser una fuente de voltaje en este circuito y "iC" debe subir al nodo.

La solución del libro de texto es:

Aquí un autor deriva la ecuación resultante. Pero detente un segundo y mira. Él usa la dirección iC codificada. ¿Qué pasará si trato de derivar el resultado yo mismo y selecciono el iC para "arriba"? El KCL será:

C * \frac{\partial v_{C}}{\partial t} = \frac{v}{R}

$C*\frac {\partial v_{C}}{\partial t} = \frac {v}{R}$ .

Resolviendo, obtenga:

v (t) = A * {mi}^{\frac{t}{R * C}}

$v(t) = A*e^{\frac{t}{R*C}}$

Y no hay "-" en el poder "e". La otra dirección actual da otro tau. Sé que una tarea puede resolverse con diferentes soluciones, pero nadie puede tener en cuenta soluciones generales para cada tarea. Quiero ver dónde hay un error y cómo cambiar las direcciones de las corrientes. Puedo obtener resultados adecuados con el método de ese libro de texto.

Para una mayor aclaración de mi problema, vuelvo a dibujar el esquema:

Ahora creo que sí: a medida que el capacitor está cargado y la fuente de voltaje externa está apagada, puedo pensar en el capacitor como una fuente de voltaje con su propia carga almacenada y la corriente "iC" comienza a atravesar el circuito en una dirección con "iR y el condensador se descarga a través de la resistencia. El libro de texto recomienda escribir KVL con el signo de componentes igual al primero logrado a través del bucle, en mi caso sería:

- \frac{1}{C} * \int i_{C} \partial t + i_{R} * R = 0

$-\frac{1}{C}*\int {i_C}{\partial t} + i_R*R = 0$

resolviéndolo me sale:

v (t) = A * {mi}^{\frac{t}{R * C}}

$v(t) = A*e^{\frac{t}{R*C}}$

Aquí no hay un signo "-" en el exponente y esa ecuación muestra que el voltaje en "R" aumentará y permanecerá en el máximo. valores. ¡Pero es incorrecto! ¿Dónde hay un error? Parece que no puedo interpretar un capacitor con voltaje almacenado como un componente activo.

bimpelrekkie

¿Qué pasa si el

I_{c}

$I_c$ flecha apunta hacia abajo pero el valor de

I_{c}

$I_c$ es negativo ? Mi punto: puedo definir eso

I_{c}

$I_c$ fluye en sentido contrario a las agujas del reloj mientras que la corriente real fluye en el sentido de las agujas del reloj. La flecha apunta en la dirección que tendría la corriente si fuera positiva . Nadie dice que en realidad tiene que ser positivo.

MaxMil

@Bimpelrekkie Sé que puedo definir cualquier dirección, pero los libros de texto usan esas suposiciones iniciales para derivar una respuesta transitoria y si elige otra dirección, la respuesta no solo diferirá por signo sino también por tau. ¿Por qué los libros siempre usan direcciones "correctas" que dan resultados correctos?

bimpelrekkie

Las personas que escriben libros y dan clases tienen experiencia, por lo que ya saben la respuesta y qué hacer para llegar más fácilmente. Al final, la dirección de una corriente es irrelevante siempre que mantenga el signo (+ o -) correcto.

MaxMil

@Bimpelrekkie Mira una actualización de la pregunta. ¿Qué opinas?

keith

Tu pregunta es demasiado larga para que la lea entera ahora. Pero en un circuito con solo R y C, Tau siempre es solo R*C. Si recuerda eso, puede ahorrarle algo de tiempo en el futuro.

Respuestas (4)

Direcciones de corriente del circuito RC sin fuente

¿Qué pasa si el $I_c$ flecha apunta hacia abajo pero el valor de $I_c$ es negativo ? Mi punto: puedo definir eso $I_c$ fluye en sentido contrario a las agujas del reloj mientras que la corriente real fluye en el sentido de las agujas del reloj. La flecha apunta en la dirección que tendría la corriente si fuera positiva . Nadie dice que en realidad tiene que ser positivo.
@Bimpelrekkie Sé que puedo definir cualquier dirección, pero los libros de texto usan esas suposiciones iniciales para derivar una respuesta transitoria y si elige otra dirección, la respuesta no solo diferirá por signo sino también por tau. ¿Por qué los libros siempre usan direcciones "correctas" que dan resultados correctos?
Las personas que escriben libros y dan clases tienen experiencia, por lo que ya saben la respuesta y qué hacer para llegar más fácilmente. Al final, la dirección de una corriente es irrelevante siempre que mantenga el signo (+ o -) correcto.
@Bimpelrekkie Mira una actualización de la pregunta. ¿Qué opinas?
Tu pregunta es demasiado larga para que la lea entera ahora. Pero en un circuito con solo R y C, Tau siempre es solo R*C. Si recuerda eso, puede ahorrarle algo de tiempo en el futuro.

mickkk · Answer 1

Técnicamente hablando, su libro de texto probablemente esté usando la convención típica para las cargas, es decir, la corriente entra desde el terminal + y sale del terminal -. Para los generadores ocurre lo contrario.

Un condensador es una carga, aunque en este caso está liberando la energía almacenada en él y actuando como "generador". Es por eso que su libro está usando esa convención.

Tenga en cuenta, sin embargo, que esto realmente no importa mucho ya que puede fácilmente:

Tenga en cuenta que la dirección de la corriente en un circuito es puramente una convención y, una vez que se encuentra el resultado, el signo de la corriente indicará la dirección real de la "corriente convencional". Siempre que siga las convenciones de carga y generadores, como se mencionó anteriormente, obtendrá los resultados correctos.
Aplique KCL en el nodo único y, por lo tanto, obtenga: $i_{C} = - i_{r}$ $i_c = -i_r$

Agregar una EDICIÓN para ser más claro y tratar de abordar las inquietudes de los usuarios:

Si desea una forma sistemática de resolver estos ejercicios, probablemente esto se acerque a eso:

En el caso 1 (en orden, LKT, relación del capacitor i,v y LKC):

{\begin{matrix} v_{C} = v_{r} \\ i_{C} = C \frac{d v_{C}}{d t} \\ i_{C} = - i_{r} = \frac{- v_{C}}{R} \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix} v_c = v_r \\ i_c = C\frac{dv_c}{dt} \\ i_c = -i_r = \frac{-v_c}{R} \end{matrix}\right.$

lo que da:

\frac{- v}{R} = C \frac{d v_{C}}{d t}

$\frac{-v}{R} = C\frac{dv_c}{dt}$

reordenarlo:

\frac{v}{R} + C \frac{d v_{C}}{d t} = 0

$\frac{v}{R} + C\frac{dv_c}{dt} = 0$

Condiciones iniciales y finales:

{\begin{matrix} v_{C 0} = V_{0} \\ v_{inf} = 0 \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix} v_{c0}= V_0 \\ v_{\inf} = 0 \end{matrix}\right.$

Forma de solución general:

v_{C} = A {mi}^{γ t} + B

$v_c = A e^{\gamma t} + B$ Encuentre A y B aplicando condiciones iniciales.

A = V_{0}, B = 0

$A = V_0, B=0$ y

γ = - \frac{1}{R C}

$\gamma = -\frac{1}{RC}$ encontrado al resolver la ecuación asociada a la ecuación diferencial dada:

v_{C} = V_{0} {mi}^{- \frac{t}{τ}}

$v_c = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

que a su vez da:

i_{C} = - \frac{V_{0}}{R} {mi}^{- \frac{t}{τ}}

$i_c = - \frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$

Tenga en cuenta que la corriente será negativa para t>= 0, lo que significa que en realidad fluye en la dirección opuesta a la supuesta.

En cambio, en el caso 2 , las condiciones iniciales son diferentes debido a las diferentes convenciones adoptadas. Pero LKC y LKT aún se mantienen siempre que haya mantenido las convenciones correctas tanto para la corriente como para el voltaje:

{\begin{matrix} v_{C} = - v_{r} \\ i_{C} = C \frac{d v_{C}}{d t} \\ i_{C} = i_{r} = \frac{v_{C}}{R} \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix} v_c = - v_r \\ i_c = C\frac{dv_c}{dt} \\ i_c = i_r = \frac{v_c}{R} \end{matrix}\right.$

que aún da exactamente la misma ecuación diferencial que en el caso 1 pero con diferentes condiciones iniciales ya que el voltaje en el tiempo 0 se midió como positivo en la "dirección opuesta":

{\begin{matrix} v_{C 0} = - V_{0} \\ v_{inf} = 0 \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix} v_{c0}= -V_0 \\ v_{\inf} = 0 \end{matrix}\right.$

resolviendo como en el caso 1 da:

v_{C} = - V_{0} {mi}^{- \frac{t}{τ}}

$v_c = -V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

que a su vez da:

i_{C} = \frac{V_{0}}{R} {mi}^{- \frac{t}{τ}}

$i_c = \frac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$ ahora siempre positivo para t>=0.

GRAN ADVERTENCIA NOTA: Este procedimiento está bien para una red RC simple, sin embargo, cuando se resuelve una red RC más compleja, hay un procedimiento más general a seguir que incluye este caso fácil en particular. Búsquelo en un libro de teoría de circuitos como "Teoría básica de circuitos" de Charles A. Desoer y Ernest S. Kuh.

Si elijo en el circuito la dirección de iC opuesta a la del esquema y derivo la v(t) obtendré v(t) = e^(t/(R*C))*A pero el resultado correcto debe ser con Signo "-" en potencia de "e". ¿Cómo puedo entender desde aquí que es un error? Obtengo el resultado y si no busco una respuesta real, pensaré que todo está bien.
Mira como la pregunta además. Qué opinas. ¿Dónde no utilizo correctamente el método del libro de texto?
Gran información. Por favor, mire una adición a mi pregunta de las palabras "Para más aclaraciones..."

Chu · Answer 2

Con las direcciones de corriente que se muestran, la ecuación del capacitor debe establecerse asumiendo que el capacitor se está cargando, por lo tanto:

$v=\small V_{C0}+\frac{1}{C}\large \int\small i_C\:dt$ ... (1)

Para la resistencia:

$\small v=R\:i_R$

y desde $\small i_R=-i_C$ , podemos escribir:

$\small v=-R\:i_C$ ... (2)

Igualando (1) y (2)

$\small V_{C0}+\frac{1}{C}\large \int\small i_C\:dt\:=-R\:i_C$

Reorganizando:

$\:i_C+\frac{1}{RC}\large \int\small i_C\:dt\:=-\large \frac{V_{C0}}{R}$

Diferenciando:

$\large\frac{di_C}{dt}+\frac{1}{RC}\small i_C=0$

Dejar $\small\tau=RC$ y resolver por el método del factor integrante:

$\small IF= e^{t/\tau}$

$i_C\: e^{t/\tau} =\large\int\small 0\:dt+A$

$i_C=A e^{-t/\tau}$

Condición inicial: en $\small t=0$ , $i_C=-\frac{V_{C0}}{R}$ , por eso $\small A=-\large\frac{V_{C0}}{R}$

Donación:

i_{C} = - \frac{V_{C 0}}{R} {mi}^{- t / τ}

$i_C=-\frac{V_{C0}}{R} e^{-t/\tau}$

Eso es, $i_C$ fluye en dirección opuesta a la supuesta.

Mira la actualización de la pregunta. Sé que su solución está funcionando muy bien, pero quiero usar eso del libro de texto y encontrar el truco que no permita usarlo siempre que lo necesito.
Realmente no entiendo lo que quieres decir; pero la razón por la que se muestra la corriente ingresando al capacitor en la pregunta original es para reforzar a los estudiantes, el hecho de que no importa un comino qué camino elija para la corriente: el análisis siempre lo resuelve y le dice el verdadero magnitud y dirección
Quiero decir que si la dirección actual no importa, elijo cambiar la dirección "iC" manualmente e intentar resolver la misma tarea. La v(t) I fue fundada igual a A * e^(t/(R*C)). ¿Por qué no hay un signo "-" en la potencia "e" si la dirección "iC" no importa? Si no importa, el resultado debe ser el mismo. Y estoy tratando de entender por qué no es lo mismo que cuando la dirección de "iC" era como en el esquema original.
Si cambia la dirección ic, entonces, por supuesto, sale positivo porque esa es la dirección 'correcta' -> C se está descargando.
Ok, en la primera tarea con la dirección "iC" original, el capacitor se está cargando, pero el comportamiento del circuito se considera en el libro de texto como si se estuviera descargando, ¿por qué?
Solo para ilustrar que no importa qué dirección elijas. para que el alumno practique con configuraciones incómodas,... etc.
... para algunos circuitos es imposible decir cuáles son las direcciones 'correctas'. Así que simplemente arroje una moneda y el análisis le dirá si es necesario invertirlos o no. No necesita conocer las direcciones correctas antes de comenzar el análisis.
es decir, no importa si obtienes e^(-t/(R C)) o si obtienes e^(t/(R C)) todo está bien y solo razonas la dirección que elijas y solo de una manera saber si la derivación refleja la realidad es construir el esquema y ver la respuesta en el osciloscopio, ¿entonces?
Para aclarar las dudas me dijeron del signo en la potencia del exponente y no del signo antes de la constante "A". ¿Hay un signo en el poder del exponente que también refleje la dirección actual?
Si asume que la corriente fluye hacia un capacitor, está asumiendo que se está cargando, por lo que $v=\small V_{C0}+\frac{1}{C} \int idt$ . Si supone que la corriente sale de un capacitor, está asumiendo que se está descargando, por lo que $v=\small V_{C0}-\frac{1}{C} \int idt$ . Luego haga los cálculos y si alguna de las corrientes es negativa, significa que la dirección supuesta debe invertirse; si una corriente es positiva, la dirección supuesta es correcta.
Estás muy confundido con el signo del exponente. Tal vez necesite leer más sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Si uso mi esquema con "iC" subiendo (descarga de cap.), luego escribo KCL: C*dvC/dt=v/R y resolviéndolo obtengo el exponente con potencia "+". Pero si la gorra. está descargando debe ser "-". Se ve claramente aquí: ibb.co/b7C3LR Hay 2 exp. gráficos - con "+" y "-" potencia de "e". Si gorra. se está descargando, debo tener el segundo gráfico, pero mi solución me da el primero (como cap. de carga). En mi libro, "eso" se evita usando la dirección "iC" hacia abajo (como cap. de carga). No puedo entender por qué al usar derivaciones de libros con la dirección "iC" lógicamente correcta (debe estar hasta la descarga máxima) obtengo un resultado incorrecto.
En otras palabras, ¿por qué asumimos que el capacitor se está cargando cuando hablamos de un circuito sin fuente donde aplicamos el capacitor cargado a la carga de la resistencia? En un laboratorio real, podemos cargar el capacitor de 1000uF con una batería de 10V y aplicar el capacitor a una resistencia de 500 ohmios y ver cómo baja el voltaje en la resistencia, es decir, el capacitor se descarga. Pero para obtener la ecuación analítica correcta del hecho de que el capacitor se está descargando, asumimos que se está cargando al comienzo de las derivaciones. ¿Por qué?
Porque es un ejercicio académico para enseñarle que no importa qué dirección seleccione, siempre que todas sus corrientes cumplan con KCL. Te he dicho esto anteriormente.
El problema similar que encontré aquí, puede ser útil para alguien: electronics.stackexchange.com/questions/281549/…

Sudarshan · Answer 3

Lo que pensó que era absolutamente correcto, sabe que el voltaje del capacitor está disminuyendo, ¿por qué no lo sustituye? $-\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$ en la expresión de 7.4b según el libro de texto?

pawan kumar · Answer 4

Actualmente estoy enfrentando este mismo problema (todavía estoy sosteniendo mi bolígrafo 😁), y ninguna de las respuestas me satisface (tal vez soy demasiado tonto para esas respuestas), así que probé un enfoque diferente.

Lo pensé en términos de proceso físico, es decir, la corriente disminuirá a través de la resistencia, por lo que, con la fig. como referencia,

i va a disminuir, así que i = - Cdv/dt ( o i = -v/R ) y ahí lo tenemos, nuestro amiguito perdido, "El Signo Negativo" 😁 ingrese la descripción de la imagen aquí

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