Dilatación del tiempo gravitacional desde la perspectiva de un cohete en aceleración

Un experimento mental común que ilustra la dilatación del tiempo gravitacional involucra a Alice y Bob en un cohete acelerado. Alice está por encima de Bob. Bob dispara señales periódicas hacia arriba. Alice observa las señales a una velocidad más baja debido al Doppler cinemático y se establece un vínculo entre la aceleración y la dilatación del tiempo gravitacional (Bob tiene un potencial gravitacional más bajo).

Después de que haya transcurrido un tiempo, Alice presumiblemente observaría a Bob un poco más joven que ella: son gemelos. Si luego baja (lentamente) por el cohete para encontrarse con Bob, ¿será Bob más joven? Si es así, ¿cómo se puede entender esto desde la perspectiva de alguien que observa la nave acelerando? Si no, ¿cómo encaja esto con el principio de equivalencia?

Para ir a encontrarse con Alice después de un tiempo, Bob tiene que moverse bastante rápido durante bastante tiempo. Para ir a encontrarse con Alice después de mucho tiempo, Bob tiene que moverse muy rápido durante mucho tiempo.
@stuffu gracias - comentario muy interesante. ¿Puedes ampliar esto (como respuesta)? Sería muy bueno si pudiera reconciliar esto con el resultado familiar de la dilatación del tiempo gravitacional.
En un campo de gravedad uniforme, g es proporcional a la dilatación del tiempo. Si observamos un cohete acelerando, la rapidez de su parte trasera es a t, la rapidez de su proa es redshift_factor a*t. La dilatación del tiempo cinético instantáneo se puede calcular a partir de la rapidez instantánea. La "dilatación del tiempo gravitacional" de Bob consta de dos cosas: la diferencia de las dilataciones del tiempo cinético y un cambio Doppler. Cuando Bob se acerca a Alice, la diferencia de edad no real causada por la dilatación del tiempo de cambio Doppler se convierte en una diferencia de edad real causada por la dilatación del tiempo cinético.

Respuestas (1)

Sí, Alice descubrirá que ha envejecido más que Bob.

El principio de equivalencia nos dice que la aceleración es localmente indistinguible de un campo gravitacional. Usamos el calificador localmente porque los campos gravitatorios siempre tienen fuerzas de marea y estas no están presentes en un marco acelerado. Sin embargo, si la configuración es lo suficientemente pequeña como para que las fuerzas de las mareas sean indetectables, entonces la aceleración y la gravedad son equivalentes.

Supongamos que la aceleración del cohete es a , entonces la fuerza sobre una unidad de masa también es a , y el trabajo necesario para elevar esa unidad de masa de Bob a Alice es simplemente:

W = a h

dónde h es el espacio vertical entre Bob y Alice. La energía potencial gravitatoria por unidad de masa en un campo gravitacional con aceleración gravitacional gramo es:

tu = gramo h

Y si gramo = a entonces las dos energías son iguales. Menciono esto porque para un campo gravitatorio débil existe una ecuación simple que relaciona la dilatación relativa del tiempo de dos observadores con su diferencia en energía potencial gravitacional:

d t B d t A = 1 − 2 ( tu A − tu B ) C 2

En este caso tu A − tu B = + gramo a , porque Alice está por encima de Bob, entonces obtenemos:

d t B d t A = 1 − 2 gramo a C 2 < 1

Y eso significa que las medidas de tiempo de Bob, t B , son siempre menores que las medidas de tiempo de Alice t A . En otras palabras, Bob envejece más lentamente.

Gracias por la respuesta. Lo siento, pero no creo que esto responda a mi pregunta. Estoy tratando de comprender el resultado de la dilatación del tiempo gravitacional, específicamente cómo dos relojes sincronizados pueden perder la sincronización, considerando el movimiento acelerado. Invocar EEP y citar la fórmula de dilatación del tiempo de gravedad no logra eso. Estoy tratando de ver cómo se puede llegar al mismo resultado, pero por diferentes medios.
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