Reloj en campo gravitacional

Weinberg escribe en su libro:

Considere un reloj en un campo gravitacional arbitrario, moviéndose con una velocidad arbitraria, no necesariamente en caída libre. El principio de equivalencia nos dice que su velocidad no se ve afectada por el campo gravitatorio si observamos el reloj desde un sistema de coordenadas localmente inercial$\xi^\alpha$, el intervalo de espacio-tiempo$d\xi^\alpha$entre ticks se rige en este sistema por

$\Delta t=(-\eta_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta)^{1/2}$,

dónde$\Delta t$es el período entre tics cuando el reloj está en reposo en ausencia de gravitación.

Realmente no entiendo por qué$\Delta t$está dada por la fórmula anterior y no sólo por$\Delta t=\xi^0(\sigma)-\xi^0(\sigma+d\sigma)=\frac{d\xi^0}{d\sigma}d\sigma$, dónde$\sigma$parametriza la línea de mundo del reloj en el$\xi$sistema coordinado. Y$\sigma$es el parámetro en el que la línea de mundo se ve localmente plana desde el punto de vista de un observador en el$\xi$sistema coordinado.