Dilatación del tiempo en Satélites debido a GR

Estoy tratando de determinar la dilatación del tiempo a bordo de un satélite (por ejemplo, GPS @ 20,000 km) con un observador en la tierra. Ya he determinado el componente de relatividad especial usando:

t ′ = t 1 − v 2 C 2

Y obtuve la respuesta correcta para la dilatación del tiempo simplemente debido al movimiento relativo (7 microsegundos después de 24 horas). No estoy seguro de si determinar el componente debido a GR es tan simple, pero mi primer intento fue evaluarlo usando la ecuación para determinar la dilatación del tiempo gravitatorio fuera de una esfera no giratoria en una órbita circular usando la métrica de Schwarzschild.

t ′ = t 1 − 3 GRAMO METRO r C 2

Parece que no obtengo la respuesta correcta (45 microsegundos después de 24 horas). ¿Algunas ideas?

Respuestas (1)

La ecuación que cita:

(1) t ′ = t 1 − 3 GRAMO METRO r C 2

da el tiempo relativo a un observador en el infinito. Quiere el tiempo relativo a un observador en la superficie de la Tierra. Necesitas calcular:

t satélite = t 1 − 3 GRAMO METRO r satélite C 2

y:

t Tierra = t 1 − 2 GRAMO METRO r Tierra C 2

dónde r Tierra es el radio de la tierra y r satélite es el radio de la órbita del satélite (medido desde el centro de la Tierra). La dilatación relativa del tiempo es entonces la razón de estos dos tiempos.

Tenga en cuenta que la ecuación (1) combina las contribuciones de la relatividad especial y general a la dilatación del tiempo, es decir, incluye tanto la dilatación del tiempo gravitacional como el efecto de la velocidad orbital. El observador en la superficie de la Tierra no está en una órbita circular, por lo que la ecuación es ligeramente diferente (un factor de 2 en la raíz cuadrada en lugar de 3).

Por cierto, cuando el campo gravitatorio es débil (como el de la Tierra) podemos usar la aproximación de campo débil para la dilatación del tiempo:

(1) d t B d t A = 1 − 2 ( Φ A − Φ B ) C 2

La cantidad Φ A − Φ B es la diferencia en la energía potencial gravitatoria newtoniana entre A y B , y d t B / d t A es la dilatación del tiempo de B el reloj relativo a A el reloj

El observador en la Tierra se encuentra en un par de órbitas diferentes: una alrededor del Sol y una vez cada 24 horas alrededor del centro de la Tierra. La primera órbita es "compartida" por el satélite, mientras que la segunda es "muy lenta". ¿Vale la pena calcular la corrección necesaria para este último (que depende de la latitud)?
@Floris: no :-)
Véase también Distorsión de Sagnac . Da como resultado un error "del orden de cientos de nanosegundos, o decenas de metros en la posición".
@Floris No (bueno, por supuesto que depende de su aplicación): mire la ecuación de John (1): si la aproximación newtoniana se ve levemente afectada por un efecto, entonces el error en una diferencia de potencial newtoniano se convierte en ese error dividido por C 2 en el factor de dilatación del tiempo de campo débil.
@Floris: si alguien quiere publicar esto como una pregunta, me complacería darle una respuesta detallada. Es bastante sencillo ya que solo integra la métrica para constante r y θ y ϕ = ω t r pecado ⁡ θ . Pero creo que el cálculo es innecesario aquí.
Gracias por la rápida respuesta. ¿La ecuación 4 también incorpora la relatividad especial? Parece que se deriva de 1
@Kafros: si realmente desea incluir el efecto de la rotación de la Tierra como sugiere Floris, responda una nueva pregunta y con gusto se lo explicaré. Aunque no estoy seguro de que valga la pena.
Ok, lo resolví con valores constantes de hasta 2 pies cuadrados y obtengo una dilatación de 58 microsegundos en un día. Si la ecuación 4 incorpora relatividad especial, es un error de 20 microsegundos, si no, es un error de 27 microsegundos. De cualquier manera, ¿no obtendré el resultado correcto (hasta 2 pies cuadrados) sin incorporar la rotación de la Tierra?
Corrección: el error es de 13 microsegundos si no se tiene en cuenta la relatividad. También mencionó que es una aproximación, ¿debería la aproximación producir un error del 20%?
@Kafros: acabo de hacer el cálculo para verificar y obtengo 38 us por día, lo cual es exactamente correcto. Para la Tierra obtengo t'/t = 0,999999999305 y para el satélite obtengo t'/t = 0,999999999975. La razón de estos dos es 1.000000000445. Reste 1 de esto y multiplique por los 86400 segundos en un día y la respuesta es 38us.
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