Dilatación de tiempo de velocidad

Este tipo de confusión suele ser más fácil de aclarar mediante una analogía geométrica. Dibujas la coordenada de tiempo como una coordenada de espacio, y dibujas las trayectorias de los relojes en movimiento en el continuo espacio-tiempo relativo a un marco inercial, donde el origen será el centro de la Tierra. Los relojes en movimiento que giran alrededor de la Tierra forman una espiral de espacio-tiempo de dos maneras diferentes: un reloj gira en espiral con la rotación de la Tierra, el otro gira en espiral contra la rotación de la Tierra. Las dos espirales en el tiempo tienen diferentes torceduras, el número de vueltas por unidad de tiempo es diferente, y dos espirales de la misma altura con diferentes torceduras tienen diferentes longitudes en geometría ordinaria --- la más torcida es más larga.

La relatividad es como la geometría, excepto por el signo menos en el teorema de Pitágoras (ver aquí: Postulados de Einstein$\leftrightarrow$Espacio de Minkowski para un Layman ). El signo menos asegura que la espiral más retorcida es más corta en relatividad que la espiral menos retorcida, de modo que el reloj que se mueve en la dirección del movimiento de la Tierra marcará menos tiempo que el reloj que se mueve contra la rotación de la Tierra. El reloj que se mueve en contra de la rotación de la Tierra en un jet moderno es casi estacionario en relación con el centro no giratorio de las coordenadas de la Tierra, ya que el jet puede volar a una velocidad de rotación cercana, de modo que el jet que va en contra de la rotación de la Tierra será marcando el verdadero tiempo no giratorio del centro de la Tierra, mientras que el chorro que va junto con la Tierra obtendrá una reducción en la frecuencia del reloj de acuerdo con el factor de dilatación del tiempo de velocidad$\sqrt{1-v^2}$(en unidades donde la velocidad se mide en fracciones adimensionales de la velocidad de la luz), el factor$\sqrt{1-v^2}$debe contrastarse con el factor de longitud de arco$\sqrt{1+y'^2}$en geometría, que da la longitud de arco adicional por unidad x de desplazamiento que se obtiene al recorrer una curva y(x).

La geometría de la relatividad, además de sus contraintuitivos cambios de signo y efectos cualitativos de acortamiento/alargamiento, es exactamente igual a los efectos de longitud de arco completamente intuitivos (aunque igualmente complicados matemáticamente) en la geometría euclidiana rotacionalmente invariante.

Se pueden calcular las diferencias de tiempo exactas de la siguiente manera a partir de la relatividad general. Eso debería dejar claro de dónde vienen las diferencias horarias. Empezamos con la métrica de campo débil:

$$d s^2=-\left(1+{2\phi\over c^2}\right)c^2 d t^2 +\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)$$

Entonces:

$$\tau_{AB} =\int_A^B d\tau =\int_A^B\sqrt{-{d s^2\over c^2}} =$$ $$=\int_A^B\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right)d t^2 -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)\left( \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2\right)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2}$$ dónde $$|{\bf V}|^2= \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2$$ es la velocidad no relativista. Luego expandimos la raíz cuadrada en series de potencias y solo mantenemos términos con potencias bajas de $c$: $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2} =\int_A^B d t\left(1+{\phi\over c^2}-{1\over 2c^2}|{\bf V}|^2\right)$$ entonces $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}|{\bf V}|^2-\phi\right)\right)$$

Ahora deja$V_g=V_g(t)$ser la velocidad del avión en relación con la Tierra (en rotación) (positiva para los vuelos hacia el este, negativa para los vuelos hacia el oeste),$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h}$la velocidad de la superficie de la Tierra, entonces el tiempo apropiado para los relojes en la superficie es:

$$\tau_\oplus =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) \right)$$ y por los relojes en el avión

$$\tau =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}(V_g+V_\oplus)^2-\phi\right) \right)$$ entonces la diferencia entre los tiempos propios es: $$\tau-\tau_\oplus=\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left(-{1\over2}(V_g+V_\oplus)^2+\phi +{1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) =$$ $$={1\over c^2}\int_A^B d t\left( \phi-\phi_\oplus-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ pero $\phi-\phi_\oplus=g h$, dónde $h=h(t)$es la altitud del avión, por lo que la fórmula final es: $$\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ Vamos a evaluarlo para altitudes y velocidades típicas de aviones comerciales: $$R_\oplus=6 378.1{\rm\,km}=6.3781\cdot10^6{\rm\,m}$$ $$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h} ={2\pi R_\oplus\over24\cdot3600}\,{\rm1\over s} ={2\pi\,6.3781\cdot10^6\over24\cdot3600}{\rm m\over s}=463.83\rm\,{m\over s}$$

$$V_g = 870\,{\rm km\over h}=241.67\rm\,{m\over s}$$ $$h = 12{\rm\,km}=12000\rm\,m$$ $$t = {2\pi R_\oplus\over V_g} = {2\pi\,6.3781\cdot10^6\over 241.67}{\rm\,s} =165824.41{\rm\,s}\approx 46{\rm\,h}$$ $$c = 3\cdot10^8\rm\,{m\over s}$$ Para vuelos hacia el este obtenemos: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-4.344\cdot10^{-8}{\rm\,s}=-43.44{\rm\,ns}$$ y para vuelos hacia el oeste obtenemos: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =3.6964\cdot10^{-7}{\rm\,s}=369.63{\rm\,ns}$$ Despreciando la gravedad, uno obtendría: vuelos hacia el este: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-260.34{\rm\,ns}$$ y para vuelos hacia el oeste: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =152.73{\rm\,ns}$$ Con solo llevar los relojes a la altura $12\rm\,km$y permaneciendo allí durante 46 horas (sin moverse con respecto al marco de inercia, por ejemplo, galaxias lejanas), se obtiene: $$\Delta\tau ={ght\over c^2}=216.90{\rm\,ns}$$

Usted puede estar pensando en la "paradoja de los gemelos" en la relatividad especial donde un gemelo se sube a un cohete que acelera a una velocidad cercana a la velocidad de la luz (c), viaja una cierta distancia alejándose de la tierra, desacelera y luego acelera de regreso a la tierra donde desacelera una vez más para aterrizar en la tierra. El gemelo que se quedó en la tierra será mucho mayor que el gemelo que viajó cerca de c. Entonces, es tentador pensar que la aceleración y la desaceleración causan la asimetría en el envejecimiento. En realidad, la asimetría se debe puramente al hecho de que el gemelo viajero usa dos marcos de inercia diferentes en comparación con un marco para el gemelo en la Tierra. Ver la paradoja de los gemelos para una explicación completa. Entonces, la duración del vuelo sí importa porque ahí es donde ocurre la dilatación del tiempo.

Como usted dice, además de la dilatación del tiempo de la relatividad especial para marcos de referencia en movimiento, también hay un efecto de dilatación del tiempo relativista general debido a los campos gravitatorios. El principio GR de equivalencia entre marcos de referencia acelerados y campos gravitatorios implica que la aceleración también causará la dilatación del tiempo. Entonces, todos estos efectos (tanto la relatividad especial como la general) deberán tenerse en cuenta en este tipo de experimento.

El texto exacto citado de Wikipedia contiene:

"...se esperaba que los relojes en movimiento envejecieran más lentamente debido a la velocidad de su viaje"

Tu pregunta es "¿Es realmente cierto?"

La respuesta es "No, no es cierto". Es decir, no es cierto que se esperara que los relojes envejecieran más lentamente debido a su velocidad de viaje. Lo cierto es que se esperaba que un reloj envejeciera más lentamente y el otro más rápidamente. Eso no es solo lo que se esperaba, sino también lo que de hecho se encontró.

"Ohh, por favor... OP seguramente estaba cuestionando si habría alguna diferencia entre los relojes, no si la redacción exacta en esa referencia de paso era correcta".

Tal vez. Pero cuando básicamente estás sobre tu cabeza, tratando de dar sentido a cosas tan extrañas como la relatividad, incluso pequeñas declaraciones erróneas como esa realmente pueden hacerte tropezar; Seguro que me hace tropezar, de todos modos.

Bien, pero vamos a tu pregunta real, que supongo que es realmente esta:

¿De dónde viene la asimetría que hace que un avión envejezca de manera diferente que el otro?

Puede encontrar un marco de referencia en el que el experimento sea completamente simétrico; ambos aviones aceleran la misma cantidad, recorren la misma distancia, a la misma velocidad. Este marco de referencia no es el que se utilizó para los cálculos, pero ¿por qué no? ¿Por qué el marco de referencia particular en el que gira la tierra es más válido que cualquier otro? Incluso podría pensar en un marco de referencia (uno que gire el doble de rápido que la Tierra) en el que se invierta la asimetría. ¿Qué tiene de mágico el marco de referencia donde la tierra gira a 360 grados/24 horas?

Y la respuesta, eventualmente llegué a comprender, es que ese marco de referencia en el que el experimento es simétrico no es un marco de referencia inercial, y el que se usó para los cálculos sí lo es (o lo es más, al menos).

La rotación no es "relativa", tiene un significado absoluto (no es que todavía entienda exactamente cuál es ese significado). La tierra está girando realmente . Para que un avión viaje con el giro de la tierra, primero necesita acelerar. Para viajar contra el giro de la tierra, primero necesita desacelerar , en términos reales, no relativos. Por lo tanto, el experimento no es simétrico.

Para al menos comenzar a entender por qué la rotación es "absoluta" de alguna manera, o al menos para creerlo, si no lo entiendes, piensa en esto:

Considere dos bolas en los extremos de una cuerda. Despreciando la gravedad entre ellas, si las bolas y la cuerda están en reposo o moviéndose uniformemente, la cuerda entre las bolas estará floja. Sin embargo, si hicieras girar las bolas alrededor del centro de la cuerda, las bolas intentarían separarse una de la otra y la cuerda quedaría tensa. No hay forma de mirar ese escenario, desde cualquier marco de referencia, donde la cuerda está floja.

Otra cosa: no creo que esto sea correcto: "... solo la aceleración/desaceleración tiene efecto cuando se comparan dos relojes en el mismo marco después de ciertos tipos de movimientos... la diferencia de tiempo de dos relojes en la prueba antes mencionada es el mismo independientemente de la duración del vuelo"

Según tengo entendido, una vez que haya terminado de acelerar, se encuentra en un nuevo marco de inercia, con una escala de tiempo diferente. Cuanto más tiempo permanezca en ese nuevo marco, más diferencia se acumulará en su reloj, y será evidente cuando finalmente regrese a su marco original.