Determinación de los números de Hodge de algunos ejemplos de orbifold

También agregaré un pequeño descargo de responsabilidad, soy un matemático con poca o ninguna experiencia en física, por lo que si alguno de los siguientes necesita expandirse, ¡no dude en preguntar! (Aunque mencionaré que me sentí mucho más cómodo con estas cosas cuando calculé por primera vez las acciones inducidas que mencionaré a continuación y realmente me ensucié las manos al verificar todo).

Para ver que solo hay uno$(1,1)$-forma que proviene de cada punto fijo en el primer ejemplo, necesita profundizar un poco en cómo la explosión realmente agrega algo a la cohomología. Para esto, hay dos pasos.

(1) ¿Qué es la explosión?

(2) ¿Cómo estamos agregando clases de cohomología?

Para (1), tenga en cuenta que estamos tomando el cociente de$T^4$por$\mathbb{Z}_2$y el problema es que esto genera 16 singularidades. De hecho, puede ampliar estas singularidades, pero no hay garantía de que esto realmente las resuelva, por lo que después de una simple ampliación, es posible que aún no tenga un objeto uniforme (es decir, ¡una resolución!) y es posible que deba continuar ampliando para resolver realmente las singularidades. . (Es por eso que el ejemplo 2 tiene una resolución más exótica).

Para ver que la resolución está completa después de la primera explosión, debe notar de alguna manera la acción de$\mathbb{Z}_2$, inducida en el$\mathbb{P}^1$s que se encuentran por encima de cada punto fijo es trivial (por lo que el cociente ampliado es uniforme). Una forma sencilla de hacerlo es observar que la involución actúa como$-1$en los diferenciales, (espacio cotangente) por lo que actúa como$-1$en el espacio tangente en cada punto singular, y la explosión reemplaza cada punto con la proyectivación del paquete normal en ese punto, pero la proyectivación de la acción por$-1$es trivial y el$\mathbb{P}^1$s son de hecho fijados por la acción de$\mathbb{Z}_2$.

Para el problema 2, estamos viendo la misma situación excepto que la acción no es$-1$, y no proyecta a algo trivial. Por lo tanto, después de la primera explosión, el$\mathbb{P}^1$s no son fijos y necesitará ampliar los puntos fijos (hay dos) en cada$\mathbb{P}^1$situada sobre un punto fijo. Si llevas la acción hasta el$\mathbb{P}^1$y una vez más en la ampliación de los puntos fijos en el$\mathbb{P}^1$ves que la acción es trivial en la segunda explosión, por lo que tienes 2 fijos$\mathbb{P}^1$s situada encima de cada punto fijo original.

Ahora, la diversión viene con la parte (2). ¿Por qué esto agrega$(1,1)$-formas y nada mas? Para esto, quizás la fuente original sea SGA V de Grothendieck, en la que (si no recuerdo mal) la sección VII se dedica en gran parte a probar el siguiente resultado (que he simplificado mucho para el caso con ejemplos dimensionales):

Dejar$X$ser una variedad irreducible proyectiva suave bidimensional con$Y$un conjunto finito de puntos en$X$. Dejar$\widetilde{X}$ser la explosión de$X$a lo largo de$Y$. Entonces

$$H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus H^k(X).$$

Presentaré la versión completa a continuación, pero es mucho más fácil para los dos pliegues, y solo se sigue de la dualidad topológica de Poincaré, ¡así que terminemos los ejemplos primero! Con la dualidad, solo necesitamos resolver

$$H^0\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-2}(Y) \oplus H^0(X),$$ $$H^1\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{-1}(Y) \oplus H^1(X),$$ y $$H^2\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0}(Y) \oplus H^2(X).$$

Ahora$H^{-2}(Y) = H^{-1}(Y) = 0$, por lo que el único cambio que tiene la explosión en la cohomología está en$H^2$. (Según su pregunta, tenga en cuenta que$H^{2,2}\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{0,0}\left(\widetilde{X}\right)$así que esto muestra que no hay$(2,2)$-clases provenientes de la explosión.)

Para$H^0(Y)$, tenga en cuenta que cada punto tiene un$(0,0)$-clase, por lo que cada punto contribuye 1 clase en$H^{1,1}\left(\widetilde{X}\right)$como se desee.

En el ejemplo dos, recuerde que teníamos dos puntos fijos para expandir, que se encuentran por encima de los puntos fijos originales, por lo que hay 18$(0,0)$-clases llegando a los números finales.

El resultado completo de SGA es el siguiente:

Dejar$X$ser una variedad proyectiva irreducible suave de dimensión$n$, y deja$Y_1,\ldots,Y_r \subset X$ser subvariedades irreducibles cerradas mutuamente disjuntas de$X$de codimensión$d\geq 2$. Dejar$Y$ser la unión de los$Y_i$y deja$\widetilde{X}\to X$ser la explosión de$X$a lo largo de$Y$. Entonces

$$H^k\left(\widetilde{X}\right) \simeq H^{k-2}(Y) \oplus \cdots \oplus H^{k-2(d-2)}(Y)\xi^{d-2} \oplus H^k(X),$$ dónde $\xi$representa el haz de líneas $\mathcal{O}(1)$. (Así es como puede definir las clases de Chern, usando el $\xi^i$como base para la cohomología de la explosión, o cualquier paquete de vectores en general, si los ha visto antes).

Así arriba, con los agradables ejemplos dobles, el$\xi$los términos no eran necesarios ya que los exponentes no son lo suficientemente grandes.

Tenga en cuenta, sin embargo, que como cualquier$n$-el producto de pliegues de curvas elípticas (o curvas en general) solo tiene puntos fijos en el lugar geométrico singular, por lo que solo obtendrá$(1,1)$-clases en la resolución. Tienes que mirar construcciones más exóticas, como$E\times S/\mathbb{Z}_2$dónde$E$es una curva elíptica y$S$es una superficie, donde el lugar geométrico fijo en$S$ahora puede tener curvas, por lo que encontrará$(2,1)$-clases en la resolución, y loci fijos cada vez más complicados (pueden) dar clases más altas en la cohomología. (Debido a sus etiquetas, mencionaré el$E\times S$caso es la construcción clásica de Borcea-Voisin cuando$S$es una superficie K3 y las involuciones no son simplécticas.)

Agregado : Veamos la segunda explosión explícitamente. Conocemos la acción de$\mathbb{Z}_3$sobre los dos toros induce una acción sobre el respectivo$1$-formas de multiplicación por$\omega$y$\omega^{-1}$. Para encontrar cómo afecta esto a la explosión, necesitamos ver cuál es la acción en el espacio tangente de un punto fijo. Tenga en cuenta que estas formas 1 nos dan una base para el espacio cotangente de cada toro, que es isomorfo al espacio tangente (que en general toma la acción de transposición, pero en nuestro caso unidimensional eso significa que es la misma acción) por lo que el$\mathbb{Z}_3$la acción induce la multiplicación por$\omega$y$\omega^{-1}$en los respectivos espacios tangentes.

Para hacer las cosas un poco más simples, démosle un nombre a nuestro (complejo) doble, dejemos

$$X = T^2\times T^2/\mathbb{Z}_3.$$

Por lo tanto, la ampliación de un gráfico afín sobre un punto fijo (que podemos establecer como el origen) se puede escribir como

$$\widetilde{X} = \left\{\Big((x,y),[u:v]\Big) \mid xu = vy\right\} \subset \mathbb{A}^2\times \mathbb{P}^1,$$ el $\mathbb{P}^1$siendo lo que hemos agregado en la explosión. Para verificar que esto sea correcto, tenga en cuenta que cualquier punto $(x,y)\neq (0,0)$tiene un solo par $[u:v]$satisfaciendo la condición $xu=vy$, mientras que el origen $(x,y)=(0,0)$tiene todo $\mathbb{P}^1$satisfactorio $xu=vy$, por lo que realmente tenemos una variedad que se corresponde uno a uno con $X$, lejos de la singularidad, y la $\mathbb{P}^1$se encuentra por encima del punto fijo.

aparte : esto$\mathbb{P}^1$surge porque es la (proyectivización del) haz normal del punto singular en$X$. En general, si explotas un$d$subvariedad bidimensional en una$n$-variedad dimensional, se obtiene una$\mathbb{P}^{d-1}$sobre el locus que estás explotando. (Por ejemplo, en una superficie, la ampliación de una curva da una$\mathbb{P}^1$sobre cada punto de la curva, mientras que ampliar un punto da una$\mathbb{P}^2$sobre el punto.) La idea de explotar en general es (vagamente) que desea agregar toda la información 'colisionando' en la singularidad. Si nunca ha visto mucho sobre la resolución de singularidades, recomiendo glosar la página Wiki, ya que ofrece una buena descripción de cómo explotar el espacio proyectivo, el espacio afín, las variedades complejas y (quizás es mejor ignorarlo) la forma de esquemas pesados.

De vuelta al trabajo : Pero esto significa que conocemos la acción en el$\mathbb{P}^1$que se encuentra sobre el punto fijo, ya que conocemos la acción de$\mathbb{Z}_3$en el espacio tangente del punto fijo anterior. Tenemos

$$[u:v] \mapsto [\omega u:\omega^{-1}v].$$ Esta acción no es trivial, por lo que el $\mathbb{P}^1$no se soluciona con la acción, por lo que simplemente agregamos un $\mathbb{P}^1$pero no cambió el lugar geométrico fijo en el punto, ¡así que el cociente todavía tiene una singularidad aquí!

Sin embargo, las cosas empeoran, ya que esto$\mathbb{P}^1$en realidad tiene dos puntos fijos! El origen$[0:v]$y el punto en el infinito$[u:0]$. (Nuestra variedad tiene 18 puntos fijos ahora, pero todos son puntos fijos aislados, por lo que todos tienen el mismo tipo de singularidad que antes).

Ahora debemos tratar de resolver ambos. Podemos tomar el gráfico$v\neq 0$y tenga en cuenta que podemos escribir

$$\widetilde{X} = \left\{\left((x,\frac{xu}{v}),\left[\frac{u}{v}:1\right]\right) \right\},$$ es decir, sólo hay dos grados de libertad. Esto significa que podemos escribir nuestro gráfico afín (aún en dos pliegues) en las coordenadas $$Y := \{(x,z)\}$$ dónde $z = u/v$. Nótese que la acción de $\mathbb{Z}_3$en $z$es $$z = \frac{u}{v} \mapsto \frac{\omega u}{\omega^{-1} v} = \omega^{-1}\frac{u}{v} = \omega^{-1}z.$$

Volando esto tenemos la misma historia que la anterior, y

$$\widetilde{Y} = \left\{\Big((x,z),[s:t]\Big) \mid xs = zt\right\}.$$ Esta vez no tenemos la acción en el espacio tangente sobre el punto fijo $(0,0)$en $\widetilde{X}$, pero en realidad podemos descifrarlo desde arriba. Conocemos la acción sobre $[u:v]$en la primera explosión, por lo que la condición $xu = vy$Cuéntanos $$xu \mapsto \omega xu$$ y $$vy \mapsto \omega^{-1}vy,$$ entonces tenemos $(x,y)\mapsto (\omega^{-1}x,\omega y)$. Así, nuestra acción sobre el $\mathbb{A}^2$en la segunda explosión es $(x,z)\mapsto (\omega^{-1} x,\omega^{-1} z)$. Por lo tanto, la condición $xs = ut$en la segunda explosión significa la acción (¡proyectiva!) de $\mathbb{Z}_3$en este $\mathbb{P}^1$es trivial, y nuestro lugar geométrico fijo ahora tiene un todo $\mathbb{P}^1$en lugar de solo un punto.

Así, al menos en este punto,$\widetilde{Y}$es suave. Un cálculo similar muestra la$\mathbb{P}^1$acostado sobre el punto en el infinito, digamos en el gráfico$u\neq 0$, también es fijo. Esto significa que cada punto fijo en$X$solo se resuelve después de las dos explosiones, donde en realidad hemos resuelto 18 puntos fijos en total.