Ecuaciones de Maxwell - indeterminadas - unicidad

Las ecuaciones de Maxwell se pueden ver como dos ecuaciones dinámicas (las dos ecuaciones de rotación) y dos ecuaciones de restricción (las dos ecuaciones de divergencia).

Así que tenemos 6 incógnitas ( mi X , mi y , mi z , B X , B y , B z ).

Las dos ecuaciones dinámicas dan 6 ecuaciones diferenciales.

Así que tenemos 6 incógnitas, 6 ecuaciones diferenciales, pero solo 2 ecuaciones de restricción.

Entonces eso deja 4 grados de libertad.

¿Cómo obtenemos una solución única con 4 grados de libertad?

tu no La densidad de carga y corriente en algún momento t no especifican los campos. Por ejemplo, cuando no hay cargas alrededor, aún puede haber radiación.
La cuestión de si las ecuaciones de Maxwell están sobre o subdeterminadas se ha discutido en esta publicación de Phys.SE.
En el punto de vista hamiltoniano, solo la ley de Ampere es dinámica y las otras tres son restricciones.
¿Cómo calculas que las ecuaciones de restricción funcionan como condiciones iniciales? Las condiciones iniciales son, ya sabes, las condiciones iniciales.
Las ecuaciones de Maxwell no necesitan especificar las relaciones de divergencia para todos los tiempos. Es suficiente especificarlos en t = 0 . Entonces las ecuaciones rotacionales se asegurarán de que se satisfagan para todos t > 0 . Este es el sentido en el que me refiero a que las ecuaciones de restricción son condiciones iniciales. La publicación de Valter deja esto más claro.
Eso es cierto, pero eso no convierte a las ecuaciones de restricción en condiciones iniciales, como se indica en su publicación. (La respuesta de Valter deja en claro que necesita condiciones iniciales específicas. Como era de esperar de las consideraciones matemáticas o físicas). Edite su publicación para reflejar eso.

Respuestas (3)

Lectura de ecuaciones de Maxwell

(1) ∇ ⋅ mi → = ρ
(2) ∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
(3) ∇ ⋅ B → = 0
(4) ∇ × B → = j → + ∂ mi → ∂ t
En aras de la simplicidad, supongo j → = 0 . Las ecuaciones (2) y (4) forman un sistema lineal de primer orden
(5) D X X ( t , X ) = ∂ t X ( t , X )
dónde
X = ( mi → , B → ) t
es un vector en R 6 . D X es un operador diferencial de primer orden que actúa solo sobre la variable espacial X :
D X = ( ∇ × , ∇ × ) t S
y S es la matriz 6 × 6 descompuesto en 4 bloques hechos de 3 × 3 matrices: I y − I en la antidiagonal y 0 , 0 en la diagonal principal.

Tan pronto como arregles las condiciones iniciales mi → ( 0 , X ) , B → ( 0 , X ) , eso es X ( 0 , X ) , existe una solución única de (5). Esto es cierto en condiciones de regularidad adecuadas. Esto es

(6) X ( t , X ) = mi t D X X ( 0 , X )
Hemos obtenido que (2) y (4) siempre admiten soluciones únicas para condiciones iniciales fijas (el caso j → ≠ 0 es una pequeña complicación de nuestro caso simplificado). ¿Qué pasa con (1) y (3)? Se sabe que (2) y (4) junto con la ley de conservación de carga dan lugar a
∂ t ( ∇ ⋅ mi → − ρ ) = 0
y
∂ t ( ∇ ⋅ B → ) = 0
donde los campos mi → y B → resuelve (2) y (4). Por lo tanto, si las condiciones iniciales para (2) y (4) satisfacen (1) y (3) (y somos libres de fijar las condiciones iniciales con esta característica), estas restricciones son válidas para todos los tiempos.

ANEXO . En caso j → está presente, la solución general de (2) y (4) es la suma de la solución general de la ecuación homogénea (5) más una solución particular de (2)-(4). En la práctica

X ( t , X ) = mi t D X Y ( X ) + mi t D X ∫ 0 t mi − τ D X j ( τ , X ) d τ
con j = ( j → ( t , X ) , 0 → ) t . Está claro que Y ( X ) = X ( 0 , X ) de nuevo.

Las ecuaciones de Maxwell son los fundamentos del fenómeno EM. Cualesquiera que sean los campos que seleccione, no deben violar estas 4 ecuaciones fundamentales. Supongamos que se nos proporciona un problema para encontrar los campos eléctricos y magnéticos de una onda EM o una carga, o lo que sea. Como dijiste, ahora tenemos un problema de cuatro componentes. Pero el grado de libertad no es 4 ya que cada componente de E está relacionado con cada componente de B (Tomemos como ejemplo la ley de Faraday).
Tu pregunta tiene un punto. La unicidad de la solución corresponde a encontrar los valores de campo de la onda. Debe tener en cuenta que los campos E y B no son independientes. Son mutuamente dependientes. Una vez que tenga E (los componentes del campo eléctrico), podría predecir el valor de B ya que ambos están relacionados por la velocidad de la onda a través del medio en cuestión. Por lo tanto, no es posible tratar a E y B desde una perspectiva diferente. Eso está en contra de las ecuaciones de Maxwell.
Entonces, todo lo que necesita es saber B o E. Entonces solo hay un grado de libertad, aunque el problema sigue siendo de 4 componentes uno.

Veamos las 4 ecuaciones en ED,

(1) ∇ ⋅ mi → = ρ
(2) ∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
(3) ∇ ⋅ B → = 0
(4) ∇ × B → = j → + ∂ mi → ∂ t
que por supuesto se puede escribir en una forma más compacta,
(5) ∂ m F m v = j v

El ( 2 ) y el ( 3 ) ecuación en realidad es mis ecuaciones de restricción. Hay 4 restricciones - ( 2 ) es una ecuación vectorial entonces 3 restricciones más el 1 de la ecuación escalar ( 2 ) . Entonces tenemos 2 grados de libertad de la 6 inicialmente.

(6) ( 3 ) ⟹ B → = ∇ × A →
(7) ( 2 ) ⟹ mi → = − ∇ ϕ − ∂ A → ∂ t

Tenga en cuenta que puedo hacer una transformación de calibre tal que,

(8) A → → A → + ∇ F ( X → , t )
(9) ϕ → ϕ − ∂ F ( X → , t ) ∂ t

y mi mi → y B → cuáles son las cantidades medibles reales permanece sin cambios. Entonces, A → y ϕ no son único .

La pregunta era sobre la singularidad de mi y B , no A y ϕ .
ya he mencionado que mi y B permanece sin cambios.
Tomaste mi y B como se indica. Si está sugiriendo que están determinados únicamente por las condiciones iniciales en ausencia de suposiciones adicionales, entonces ciertamente está equivocado: intente reemplazar mi con mi + gramo r a d ( F ) y B con B + gramo r a d ( gramo ) dónde F y gramo son funciones armónicas arbitrarias.
Estaba sugiriendo que eran únicos desde una perspectiva diferente: la invariancia de calibre, A m → A m + ∂ m θ ( X )
Sí, en otras palabras, no estabas respondiendo a la pregunta, que no tenía nada que ver con la invariancia de calibre.
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