Desintegración radiactiva del uranio-238

Se debe hacer una suposición más con respecto a la$^{222}Rn$concentración en el tiempo cero (hace una semana). Si supone un equilibrio radiactivo entre$^{222}Rn$y el padre$^{238}U$puedes proceder como lo hiciste. Pero en lugar de tomar una pared, debe tener en cuenta todas las paredes hechas de$^{238}U$material contaminado.

Por otro lado, si supone que la habitación estaba bien ventilada hasta hace una semana, es decir, la$^{222}Rn$concentración en el aire era cero al principio, debe tener en cuenta la acumulación de actividad. Comenzando con actividad cero,$^{222}Rn$crecerá gradualmente hasta alcanzar el equilibrio con el radionúclido original (en este caso, se tarda aproximadamente un mes). Supongamos el equilibrio radiactivo entre el$^{238}U$y sus productos de descomposición existe hasta$^{226}Ra$(que decae a la$^{222}Rn$). Las ecuaciones de decaimiento-crecimiento que describen tal situación son:

$\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1N_1$

$\frac{dN_2}{dt}=-\lambda_2N_2+\lambda_1N_1$

Dónde$N_1$,$N_2$son números de átomos de$^{238}U$y$^{222}Rn$respectivamente (en función del tiempo) y$\lambda_1$,$\lambda_2$son constantes de decaimiento de la$^{238}U$y$^{222}Rn$respectivamente.

La solución a este sistema de ecuaciones es

$N_2=\frac{N_0 \lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) \Rightarrow A_2=A_1 \frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t})$

Desde$\lambda_2= 2.1 \times 10^{-6} \ s^{-1} \gg \lambda_1= 4.9 \times 10^{-18} \ s^{-1}$y$1 \ week \doteq 6 \times 10^{5} \ s$podemos aproximar esta solución como

$A_2 \doteq A_1(1-e^{-\lambda_2 t})$

dónde$t$es un tiempo de$^{222}Rn$"construyendo" en segundos y$A_1$,$A_2$son actividades de$^{238}U$y$^{222}Rn$respectivamente y$N_0$es el número inicial de$^{238}U$átomos Significa que después de una semana, el$^{222}Rn$crecerá al ~ 70 % de su actividad de equilibrio, ver figura:

Asumiendo que$^{222}Rn$emana de todas las paredes incluyendo el piso y el techo, obtenemos la actividad$A_1$de$^{238}U$por unidad de volumen de un material de pared como

$A_1 =\frac{A_2 V_{air}}{V_{material}(1-e^{-\lambda_2 t})}=\frac{50 \times 10^3}{6 \times 10^2 \times 0.03 \times (1-e^{2.1 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^5})} \doteq 3900 \ Bq/m^3$