Desintegración radioactiva

Question

Desintegración radioactiva

A B C

Problema :Núcleos de un elemento radiactivo $\Bbb X$ teniendo decaimiento constante $\lambda$ , ( se desintegra en otro núcleo estable $\Bbb Y$ ) está siendo producido por algún proceso externo a una tasa constante $\Lambda$ .Calcular el número de núcleos de $\Bbb X$ y $\Bbb Y$ en $t_{1/2}$

Traté de crear una ecuación para la tasa de cambio del número de núcleos a:

\frac{d {norte}_{X}}{d t} = Λ - {norte}_{X} λ

$\dfrac{dN_{X}}{dt}=\Lambda-N_X\lambda$

Hice eso porque en simple decadencia $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$ retiene y aquí también se está produciendo por tasa. Pero después de la integración deberíamos escribir

yo norte (\frac{λ {norte}_{X} - Λ}{λ {norte}_{0} - Λ}) = - λ t

$ln\Bigg(\dfrac{\lambda N_X-\Lambda}{\lambda N_0-\Lambda}\Bigg)=-\lambda t$ o

yo norte (\frac{λ {norte}_{X} - Λ}{{norte}_{0}}) = - λ t

$ln\Bigg(\dfrac{\lambda N_X-\Lambda}{N_0}\Bigg)=-\lambda t$ El primero porque el límite estaba activado.

N : (N_{0} \to N)

$N: (N_0\to N)$ Y luego qué sustituir

t

$t$ (es decir, ¿qué es

t_{1 / 2}

$t_{1/2}$ ?

l n 2 / λ

$ln2/\lambda$ ¿o algo mas?)

También cómo hacerlo para $\Bbb Y$ ? Solo escribe

\frac{d {norte}_{Y}}{d t} = λ {norte}_{X}

$\dfrac{dN_Y}{dt}=\lambda N_x$ ?

dmckee --- gatito ex-moderador

Por cierto, hay una razón para este problema. Cuando tienes una cadena de descomposición

W \to X \to Y

$W \to X \to Y$ donde el

τ_{W} ≫ τ_{X}

$\tau_W \gg \tau_X$ mediciones en la escala de tiempo de

τ_{X}

$\tau_X$ parece que tienen una tasa constante de recarga de especies

X

$X$ . Este es efectivamente el caso, por ejemplo, en la parte inferior de la cadena de radón donde

W

$W$ es Pb-210 y

X

$X$ es Po-210 (en realidad, también hay una especie intermedia con una vida media aún más corta, pero si lo resuelve, verá que puede ignorarlo).

Fisión nuclear

La ecuación diferencial es correcta, pero la solución no lo es. Necesitas usar un factor de integración para resolver la ecuación diferencial. La respuesta corta a su pregunta es que después de una vida media, el valor de

N_{x}

$N_x$ será

Λ / 2

$\Lambda/2$ . Esto supone que

N_{x}

$N_x$ comenzó en cero.

Respuestas (2)

Desintegración radioactiva

Por cierto, hay una razón para este problema. Cuando tienes una cadena de descomposición $W \to X \to Y$ donde el $\tau_W \gg \tau_X$ mediciones en la escala de tiempo de $\tau_X$ parece que tienen una tasa constante de recarga de especies $X$ . Este es efectivamente el caso, por ejemplo, en la parte inferior de la cadena de radón donde $W$ es Pb-210 y $X$ es Po-210 (en realidad, también hay una especie intermedia con una vida media aún más corta, pero si lo resuelve, verá que puede ignorarlo).
La ecuación diferencial es correcta, pero la solución no lo es. Necesitas usar un factor de integración para resolver la ecuación diferencial. La respuesta corta a su pregunta es que después de una vida media, el valor de $N_x$ será $\Lambda/2$ . Esto supone que $N_x$ comenzó en cero.

Miguel · Answer 1

La primera de tus ecuaciones es correcta. Puedes ver esto de dos maneras. En primer lugar, basta con mirar las dimensiones. En general, el argumento de un logaritmo debe ser adimensional; solo tu primera opción lo es. En segundo lugar, y tal vez de manera más convincente, mire lo que obtiene cuando toma $\Lambda \to0$ . Debería poder reproducir la ecuación de descomposición estándar:

{norte}_{X} (t) = {norte}_{0} {mi}^{- λ t} .

$\begin{equation} N_X(t) = N_0\, e^{-\lambda\, t}~. \end{equation}$ En tu primera ecuación, los factores de

λ

$\lambda$ en el lado izquierdo cancela, y obtienes este resultado. Con tu segunda ecuación, obtendrías

N_{X} (t) = \frac{N_{0}}{λ} e^{- λ t}

$N_X(t) = \frac{N_0}{\lambda}\, e^{-\lambda\, t}$ . Así que eso debe estar mal.

En cuanto a que $t_{1/2}$ es, seguramente debe ser solo la vida media de $\mathbb{X}$ (sin creación). En particular, si $\Lambda$ es lo suficientemente grande, $N_X$ realmente crecerá, por lo que no hay tiempo en el que quede la mitad del material. Desde $\mathbb{Y}$ es estable, puede suponer que no hay una vida media relevante allí.

Además, su expresión para $N_Y$ es correcto. Es una integración un poco más difícil, pero no tan mala.

Ver aquí, (creo que parte de esta respuesta es incorrecta) en.wikipedia.org/wiki/Half-life
Hola @nonagon. Entiendo la definición de vida media, pero la pregunta es un poco ambigua en cuanto a qué significado debe asignarse al símbolo. $t_{1/2}$ . Como argumenté anteriormente, y 007 argumentó en respuesta a su respuesta, si $\Lambda$ es lo suficientemente grande, nunca habrá un momento en el que $N_X = N_0/2$ . E incluso si existe tal momento, el significado de $t_{1/2}$ entonces dependería de las circunstancias. Una interpretación razonable diferente del símbolo. $t_{1/2}$ es considerarlo una característica fija de cierto isótopo. En ese caso, la pregunta en realidad tiene sentido en general.
Además, creo que tratar $t_{1/2}$ como una característica fija de un isótopo es solo una convención más común. Parte de tomar clases de física es descifrar el significado de las preguntas. :)
Si la tasa de producción es lo suficientemente grande, la población crecerá hasta alcanzar una población mayor de equilibrio.

Jim · Answer 2

Así que esto es lo que hice, discreticé el problema y deduje $N_x$ y $N_y$ en algún $t_n$ . Estos incluían sumas que podían convertirse fácilmente en integrales. A saber:

{norte}_{X} (t_{norte}) = {norte}_{0} {mi}^{- λ t_{norte}} + Λ \sum_{i = 0}^{norte} Δ t_{i} {mi}^{- λ (t_{norte} - t_{i})}

$N_x(t_n)=N_0e^{-\lambda t_n}+\Lambda\sum_{i=0}^n\Delta t_ie^{-\lambda(t_n-t_i)}$

{norte}_{y} (t_{norte}) = {norte}_{0} (1 - {mi}^{- λ t_{norte}}) + Λ \sum_{i = 0}^{norte} Δ t_{i} (1 - {mi}^{- λ (t_{norte} - t_{i})})

$N_y(t_n)=N_0(1-e^{-\lambda t_n})+\Lambda\sum_{i=0}^n\Delta t_i(1-e^{-\lambda(t_n-t_i)})$

Como resultado, encontré lo siguiente:

{norte}_{X} (t) = {norte}_{0} {mi}^{- λ t} + \frac{Λ}{λ} (1 - {mi}^{- λ t})

$N_x(t)~=~N_0e^{-\lambda t}+{\Lambda\over\lambda}(1-e^{-\lambda t})$

{norte}_{y} (t) = {norte}_{0} (1 - {mi}^{- λ t}) - \frac{Λ}{λ} (1 - {mi}^{- λ t}) + Λ t

$N_y(t)~=~N_0(1-e^{-\lambda t})-{\Lambda\over\lambda}(1-e^{-\lambda t})+\Lambda t$

En $t_{1\over2}={ln(2)\over\lambda}$ , $e^{-\lambda t}={1\over2}$ , por lo tanto:

{norte}_{X} (t_{\frac{1}{2}}) = \frac{{norte}_{0} + \frac{Λ}{λ}}{2}

$N_x(t_{1\over2})~=~{N_0+{\Lambda\over\lambda}\over2}$

{norte}_{y} (t_{\frac{1}{2}}) = \frac{{norte}_{0}}{2} + \frac{Λ}{λ} (yo norte (2) - \frac{1}{2})

$N_y(t_{1\over2})~=~{N_0\over2}+{\Lambda\over\lambda}(ln(2)-{1\over2})$

De acuerdo, estoy dispuesto a aceptar un merecido -1, pero por cortesía común, quienquiera que haya sido, dejaría un comentario sobre por qué no le gustó mi respuesta. Es consistente con lo que dijo Mike y responde completamente la pregunta hasta donde yo sé. ¿He cometido un error en alguna parte?
Realmente no entiendo que -1 tampoco. Esta no es la forma en que yo resolvería esto, pero parece ser correcto.
+1 Respuestas correctas. Con plena integración. :). Bueno, lo haré mañana. Mi cuota diaria terminó.:p
@007 ¿Terminó tu cuota diaria? Usted es un crédito para el sitio, señor.
Cuota diaria para la votación. ¿Y por qué llamas a eso señor?
Lo sé, hablaba en serio. Si está maximizando su cuota, claramente está dedicando mucho tiempo al sitio en un esfuerzo por mejorarlo para todos nosotros. Por lo tanto, un crédito, el "señor" era un título de respeto ofrecido

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