Desigualdad de Clausius que conduce a un resultado absurdo

Question

Desigualdad de Clausius que conduce a un resultado absurdo

entropía
Física
motor térmico
reversibilidad
termodinámica

Osmio

Antecedentes: Después de derivar la desigualdad de Clausius , el autor de este libro deriva la siguiente relación:

Considere el ciclo que se muestra en la figura en la que la pierna $A \rightarrow B$ es irreversible en la ecuacion

0 > \oint \frac{d q}{T} = \int_{A irrev}^{B} \frac{d q}{T} + \int_{B Rdo}^{A} \frac{d q}{T}

$0>\oint\frac{\mathrm{d}Q}{T}=\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d}Q}{T}+ \int_{B \operatorname{rev}}^{A} \frac{\mathrm{d}Q}{T}$ el segundo término en el lado derecho de esta ecuación está dado por

S (A) - S (B)

$S(A)-S(B)$ porque se toma un camino reversible. Cuando movemos esta cantidad al lado izquierdo, encontramos que

S (B) - S (A) > \int_{A irrev}^{B} \frac{d q}{T} .

$S(B)-S(A)>\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}.$ Así, la diferencia de entropía entre los puntos es mayor que la integral de $\mathrm{d} Q / T$ sobre un cambio irreversible.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Problema: La entropía es una función de estado por lo que $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}= {\Delta} S.$ Por la desigualdad derivada tenemos ${\Delta} S>{\Delta} S$ lo cual es absurdo.

Respuestas (3)

Desigualdad de Clausius que conduce a un resultado absurdo

Ghorbalchov · Answer 1

Teniendo en cuenta el resultado

\int_{A irrev}^{B} \frac{d q}{T} < S (B) - S (A)

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<S(B)-S(A)$ para un camino infinitesimal, obtenemos

d S \geq \frac{d q}{T}

$\mathrm{d}S\ge\frac{\mathrm{d}Q}{T}$ donde la igualdad se cumple solo para un proceso reversible (según la definición de entropía).

Esto significa que en su expresión

\int_{A irrev}^{B} \frac{d q}{T},

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T},$

\frac{d Q}{T}

$\frac{\mathrm{d} Q}{T}$ no es igual a

d S

$\mathrm{d}S$ porque el proceso es irreversible. En cambio, tienes

\frac{d Q}{T} < d S

$\frac{\mathrm{d} Q}{T}<\mathrm{d}S$ y entonces

\int_{A irrev}^{B} \frac{d q}{T} < \int_{A irrev}^{B} d S = S (B) - S (A)

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \mathrm{d}S=S(B)-S(A)$ que es el resultado original.

Entonces $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}\not= {\Delta} S$ para procesos irreversibles?
Pero en la página siguiente, el autor escribe que "usamos caminos reversibles para calcular el cambio en la entropía. Pero debido a que la entropía es una función de estado, se obtiene el mismo resultado para cualquier transformación, reversible o irreversible entre el mismo estado". Entonces, ¿no hay ninguna contradicción aquí?
No hay contradicción. El hecho de que la entropía sea una función de estado significa que $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \mathrm{d}S=\int_{A \operatorname{rev}}^{B} \mathrm{d}S=S(B)-S(A)$ que usé en mi respuesta. El caso es que $\frac{\mathrm{d} Q}{T}\neq\mathrm{d}S$ por un proceso irreversible $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}\neq {\Delta} S$ .

Chet Miller · Answer 2

Para el camino irreversible entre los mismos dos estados finales, dQ es diferente de dQ para el camino reversible, y en la integral de dQ/T para el camino irreversible, se supone que debe usar la temperatura en la interfaz límite entre el sistema y los alrededores. $T_B$ . Entonces, para el camino irreversible, deberías usar

\int \frac{d q_{i r r mi v}}{T_{B}}

$\int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$ Así que las dos integrales no se parecen en nada. La forma correcta de la desigualdad debe decir:

Δ S \geq \int \frac{d q_{i r r mi v}}{T_{B}}

$\Delta S\geq \int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$

Chet, me gusta esta notación porque muestra claramente que para el camino irreversible no podemos igualar la proporción de calor absorbido/cedido a la temperatura isotérmica al incremento de entropía. Lindo.

miguel b · Answer 3

Encuentro que lo siguiente del libro de Enrico Fermi es la derivación más explícita que muestra:

d S \geq \frac{d q}{T}

$dS \geq \frac{dQ}{T}$

Mirando una integral de bucle cerrado de la relación entre el calor absorbido (o cedido, según el signo) y la temperatura del baño de calor a lo largo de cada isoterma en un ciclo (reversible o no),

\oint \frac{d q}{T} = \int_{A}^{B} \frac{d q}{T} + \int_{B}^{A} \frac{d q}{T} \leq 0

$\oint \frac{dQ}{T}=\int_{A}^{B} \frac{dQ}{T}+\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T} \leq0$

Podemos tomar la parte delantera del ciclo. $(A\rightarrow B)$ como una transformación irreversible, y la parte de retorno del ciclo $(B\rightarrow A)$ como una transformación reversible. Es válido hacer esto porque incluso los ciclos irreversibles se comportan igual a lo largo de la parte delantera del ciclo. Solo estamos diciendo que, como caso límite, nuestro ciclo se comporta de manera reversible a lo largo del camino de retorno:

(T d S = d q)_{B \to A}

$(TdS=dQ)_{B \rightarrow A}$ Por lo tanto,

\int_{B}^{A} d S = \int_{B}^{A} \frac{d q}{T} = S (A) - S (B)

$\int_{B}^{A}dS=\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T}=S(A)-S(B)$

\int_{A}^{B} \frac{d q}{T} + S (A) - S (B) = \int_{A}^{B} \frac{d q}{T} - [S (B) - S (A)] \leq 0

$\int_{A}^{B}\frac{dQ}{T} + S(A)-S(B) = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}-[S(B)-S(A)] \leq 0$

En cambio,

S (B) - S (A) \geq \int_{A}^{B} \frac{d q}{T}

$S(B)-S(A) \geq \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}$

d S \geq \frac{d q}{T}

$dS \geq \frac{dQ}{T}$

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