¿Derivar el desplazamiento Doppler relativista en términos de longitud de onda? [cerrado]

Pista :

Supongamos que dos pulsos de luz$p'_1$y$p'_2$son emitidas sucesivamente desde la Estrella hacia la Tierra en momentos de tiempo$t'_1$y$t'_2$, separados por un intervalo de tiempo infinitesimal$\mathrm{d}t'=t'_2\!-\!t'_1$. Tiempo$t'$es el tiempo en el marco de descanso$\mathrm{S'}$de la Estrella

Estos dos eventos suceden en el marco de descanso.$\mathrm{S}$de la Tierra en momentos de tiempo$t_1$y$t_2$, aparte del intervalo de tiempo infinitesimal dilatado$\mathrm{d}t=t_2\!-\!t_1=\gamma\left(v\right)\mathrm{d}t'$. Tiempo$t$es el tiempo en el marco de descanso$\mathrm{S}$de la tierra.

Ahora, deje que los dos pulsos de luz lleguen a la Tierra en momentos de tiempo de la Tierra.$\hat{t}_{\!1}$y$\hat{t}_{\!2}$, separados por un intervalo de tiempo infinitesimal$\mathrm{d}\hat{t}=\hat{t}_{\!2}\!-\!\hat{t}_{\!1}$. Si la estrella estuviera en reposo con respecto a la Tierra o su movimiento fuera transversal (sin movimiento radial:$v_\mathrm{r}=0$) entonces$\mathrm{d}\hat{t}=\mathrm{d}t$. Pero debido al movimiento radial de la estrella con respecto a la Tierra, el segundo pulso, que se emitió más tarde, tiene que recorrer una distancia mayor que el primer pulso si la estrella se está alejando o tiene que recorrer una distancia menor que el primer pulso si la estrella se acerca. En el primer caso$\mathrm{d}\hat{t}>\mathrm{d}t$. En el segundo caso, el que se muestra en la figura,$\mathrm{d}\hat{t}<\mathrm{d}t$.

Entonces, si pudieras estimar el intervalo de tiempo$\mathrm{d}\hat{t}$entonces resolverías el problema ya que los intervalos de tiempo son inversamente proporcionales a las frecuencias que es proporcional a las longitudes de onda:

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}t'}=\dfrac{\nu'}{\nu}=\dfrac{\lambda}{\lambda'}=\dfrac{\lambda \text{(observed)}}{\lambda'\text{(emitted)}} \end{equation}$$

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Solución 1 (relacionada con la pista)

Como se muestra en la Figura-02 anterior

$$\begin{equation} \mathrm{d}t=t_2\!-\!t_1=\gamma(v)\left(t'_{\!2}\!-\!t'_{\!1}\right) =\gamma(v)\mathrm{d}t' \tag{1.01} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{dr}\approx \mathrm{r_2}-\mathrm{r_1}=-v_\mathrm{r}\,\mathrm{d}t=-v \cos\theta\, \gamma(v)\,\mathrm{d}t' \tag{1.02} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{d}\hat{t}=\hat{t}_2\!-\!\hat{t}_1=\left(t_2\!+\!\dfrac{ \mathrm{r}_2}{c}\right)\!-\!\left( t_1\!+\!\dfrac{ \mathrm{r}_1}{c} \right)=\mathrm{d}t\!+\!\dfrac{\mathrm{dr}}{c} =\gamma(v)\mathrm{d}t'\!-\!\dfrac{v \cos\theta\, \gamma(v)\,\mathrm{d}t' }{c} \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}t' } = \dfrac{1\!-\!\dfrac{v \cos\theta}{c}}{ \sqrt{1\!-\!\dfrac{v^2}{c^2}}} \stackrel{\left(\beta=\tfrac{v}{c}\right)}{=\!=\!=}\dfrac{1\!-\!\beta \cos\theta}{\sqrt{1\!-\!\beta^2}}=\dfrac{\nu' \text{(emitted)}}{\nu\:\text{(observed)}} =\dfrac{\lambda\:\text{(observed)}}{\lambda' \text{(emitted)}} \tag{1.03} \end{equation}$$ QED.

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Solución 2

Enlace: Mi respuesta en Acerca de las relaciones de Broglie

Para una onda plana, la frecuencia angular de 4 vectores

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Omega} \equiv \left(\omega,c\mathbf{k} \right) \tag{2.01} \end{equation}$$ se transforma entre cuadros bajo la transformación de Lorentz. Esto se prueba en el enlace para una configuración más general de dos marcos (ver la Figura al final del enlace). En (2.01) $$\begin{equation} \omega= 2\pi\nu \tag{2.02} \end{equation}$$ es la frecuencia angular y $\:\nu\:$la frecuencia. También $$\begin{equation} \mathbf{k}= \dfrac{ 2\pi}{\lambda} \;\mathbf{m} , \qquad \Vert \mathbf{m}\Vert =1 \tag{2.03} \end{equation}$$ es el 3-vector de onda y $\:\lambda\:$la longitud de onda la onda plana $^\prime$ $^\prime$propaga $^\prime$ $^\prime$con vector de velocidad $$\begin{equation} \mathbf{w}= \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert } \;\mathbf{m}=\lambda\nu\;\mathbf{m} = \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert^{2}}\mathbf{k}, \qquad \Vert \mathbf{w}\Vert \equiv \mathrm{w} = \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert }=\lambda\nu \tag{2.04} \end{equation}$$ De la ecuación de Lorentz (A-14b) en el enlace tenemos $$\begin{equation} \omega^{\boldsymbol{\prime}} =\gamma\left(\omega\!+\!\dfrac{ \mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}c\mathbf{k}}{c}\right) \tag{2.05} \end{equation}$$ Por una onda de luz $\: \mathbf{k}=(2\pi\nu/c)\mathbf{m}\:$entonces $$\begin{equation} \nu^{\boldsymbol{\prime}} =\gamma\left(1\!+\!\dfrac{ \mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{m}}{c}\right)\nu \tag{2.06} \end{equation}$$ En la ecuación anterior $\:\mathbf{v}=\!-\boldsymbol{v}\:$es el vector velocidad de la Tierra con respecto a la Estrella, el vector $\:\boldsymbol{v}\:$se muestra en las Figuras-01,-02 y $\:\mathbf{m}\:$el vector unitario paralelo a su componente radial $\:\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{m}=\dfrac{\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}}{\Vert\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}\Vert} \tag{2.07} \end{equation}$$ para que finalmente $$\begin{equation} \dfrac{\nu' \text{(emitted)}}{\nu\:\text{(observed)}}=\gamma\left(1\!-\!\dfrac{ v \cos \theta}{c}\right)= \dfrac{1\!-\!\dfrac{v \cos\theta}{c}}{ \sqrt{1\!-\!\dfrac{v^2}{c^2}}} \tag{2.08} \end{equation}$$