Derivación del flujo de energía cinética

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Derivación del flujo de energía cinética

Tomi

Estoy trabajando para derivar el flujo de energía cinética de los fluidos. No pude encontrar una derivación en línea. Sé por la literatura que la respuesta correcta es $\phi_{kin} = (1/2) \rho v^3$ .

El contexto específico está en instantáneas de fluidos, por lo que está bien asumir una aceleración constante.

Estoy con la definición de energía cinética.

{mi}_{k} = \frac{1}{2} metro v^{2} .

$E_k = \frac{1}{2} m v^2 \, .$

Podemos suponer una aceleración constante entre cada instantánea (cada vez que podemos ver el fluido). Estamos interesados en calcular el flujo de energía cinética de un sistema con un punto, molécula o píxel y cómo se mueve entre instantáneas.

Comenzamos colocando una sola partícula en una caja. Tiene energía sólo debido a la energía cinética. Como tiene energía cinética, de nuestra definición anterior de energía cinética debe estar en movimiento.

Considere esta partícula en una caja que se mueve en una dirección arbitraria como se muestra en la figura a continuación.

Encogemos el cubo para que la partícula deba atravesarlo durante la duración de la instantánea y medimos el flujo una vez que la partícula se ha movido a través de una cara de la caja. La caja tiene bordes que son $\epsilon$ más ancho que el diámetro de la partícula.

Describimos la partícula (con un campo vectorial) por un delta de Dirac con un asociado $E_k$ escalar. Por lo tanto, el campo vectorial parece

\underline{F_{k}} = {mi}_{k} d^{3} (\underline{r} - \underline{r^{'}})

$\underline{F_{k}} = E_K \ \delta^3(\underline{r} - \underline{r'})$

Pero, en realidad, esto no es un vector, porque el delta de Dirac es un escalar. Pero, si incluyo un vector, arruina el resultado.

El flujo de energía cinética se define como

ϕ_{k} = \oint_{S} \underline{F_{k}} \cdot \underline{\hat{norte}} d S

$\phi_k = \oint_S \underline{F_{k}} \cdot \underline{\hat{n}} \,dS$

Suponemos que la partícula puntual no pasa por un borde, por lo que arbitrariamente tomamos la cara xy.

ϕ_{k} = \int_{X - ϵ}^{X + ϵ} \int_{y - ϵ}^{y + ϵ} {mi}_{k} d^{3} (\underline{r} - \underline{r^{'}}) \cdot \underline{\hat{norte}} d X d y

$\phi_{k} = \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} E_k \delta^3(\underline{r} - \underline{r'}) \cdot \underline{\hat{n}} dx dy$

Tomando lo normal que se deshará de una dimensión. Así nuestra integral se convierte en

ϕ_{k} = \int_{X - ϵ}^{X + ϵ} \int_{y - ϵ}^{y + ϵ} {mi}_{k} d^{2} (\underline{r} - \underline{r^{'}}) \cdot \underline{\hat{norte}} d X d y

$\phi_{k} = \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} E_k \delta^2(\underline{r} - \underline{r'}) \cdot \underline{\hat{n}} dx dy$

Nuevamente, creo que la falla está en el paso anterior: no puedo simplemente deshacerme de una dimensión del delta de Dirac usando el producto escalar con la normal como excusa. (también, estoy punteando algo que no es un vector con un vector), pero si no hago eso, terminaré con un delta de Dirac 3D en una integral 2D, lo que parece poco fiable.

Invocamos la propiedad del delta de Dirac

\int_{a - ϵ}^{a + ϵ} F (X) d (X - a) d X = F (a)

$\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} f(x) \delta(x-a) dx = f(a)$

Y nos quedamos con

ϕ_{k} = {mi}_{k} \int_{X - ϵ}^{X + ϵ} \int_{y - ϵ}^{y + ϵ} d^{2} (\underline{r} - \underline{r^{'}}) \cdot \underline{\hat{norte}} d X d y = {mi}_{k}

$\phi_{k} = E_{k} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta^2(\underline{r} - \underline{r'}) \cdot \underline{\hat{n}} dx dy = E_{k}$

Nuestro flujo por lo tanto es $\phi_{k} = E_{k} = \frac{1}{2} \ m \ (v_{2}^2 - v_{1}^2)$ .

Podemos establecer la velocidad inicial en cero y considerar la $E_{k}$ en cada instantánea en ese instante. De este modo

{mi}_{k} = \frac{1}{2} metro v^{2}

$E_k = \frac{1}{2} \ m v^{2}$

Esto es válido para una sola partícula. Extrapolando a un fluido y alimentando la densidad en lugar de la masa, encontramos:

F_{k i norte} = \frac{1}{2} ρ v^{3}

$F_{kin} = \frac{1}{2} \rho v^3$

Cuál es la expresión correcta. (pero con una derivación defectuosa).

Referencia (según lo solicitado), fuente: Solar Prominences Vial, Engvold et al

También utilizado en Paraschiv, Bemporad y Sterling Propiedades físicas de los chorros polares solares (2015)

Pirx

¿Puede señalar una referencia en la literatura a lo que llama "flujo de energía cinética" aquí? No estoy familiarizado con la expresión.

ϕ_{k i n} = \frac{1}{2} ρ v^{3}

$\phi_{kin} = \frac{1}{2} \rho\,v^3$ , y no puedo ver cómo una expresión escalar de este tipo tendría mucho sentido.

endulo

Estoy confundido por tu primera ecuación para

\underline{F_{k}}

$\underline{F_k}$ . ¿Quieres escribir

F_{k} = E_{k} δ^{3} (\underline{r} - {\underline{r}}^{'})

$F_k=E_k\delta^3(\underline{r}-\underline{r}')$ ? Recuerde que el delta de Dirac "en 3D" sigue siendo un escalar; simplemente toma un vector como argumento y tiene dimensiones de volumen.

Tomi

@Pirx, Referencia añadida.

Respuestas (3)

Derivación del flujo de energía cinética

¿Puede señalar una referencia en la literatura a lo que llama "flujo de energía cinética" aquí? No estoy familiarizado con la expresión. $\phi_{kin} = \frac{1}{2} \rho\,v^3$ , y no puedo ver cómo una expresión escalar de este tipo tendría mucho sentido.
Estoy confundido por tu primera ecuación para $\underline{F_k}$ . ¿Quieres escribir $F_k=E_k\delta^3(\underline{r}-\underline{r}')$ ? Recuerde que el delta de Dirac "en 3D" sigue siendo un escalar; simplemente toma un vector como argumento y tiene dimensiones de volumen.

kyle kanos · Answer 1

No lo he visto antes, pero una derivación que me viene a la cabeza es, dada la ecuación de conservación de energía (de las ecuaciones de Euler ),

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial mi}{\partial t} + \nabla \cdot ((mi + pag) tu) = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\left(E+p\right)\mathbf u\right)=0\tag{1}$ dónde

mi = {mi}_{k i norte} + {mi}_{i norte t} = \frac{1}{2} ρ {tu}^{2} + ρ mi .

$E=E_{kin}+E_{int}=\frac{1}{2}\rho u^2+\rho e.$ Asumiendo, por simplicidad, una dimensión, entonces podemos escribir (1) como,

\begin{aligned} \frac{\partial mi}{\partial t} & = - \frac{\partial}{\partial X} (mi tu + pag tu) \\ = - \frac{\partial}{\partial X} (\frac{1}{2} ρ {tu}^{2} tu + ρ mi tu + pag tu) \\ = - \frac{\partial}{\partial X} (ϕ_{k i norte} + ϕ_{i norte t}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial E}{\partial t}&=-\frac{\partial}{\partial x}\left(Eu+pu\right)\\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}\rho u^2\,u+\rho eu+pu\right)\\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\phi_{kin}+\phi_{int}\right) \end{align}$ para que puedas ver eso

\frac{1}{2} ρ u^{3}

$\frac{1}{2}\rho u^3$ sería el "flujo de energía cinética" y, supongo, los términos restantes serían el flujo de energía interna.

Tomi · Answer 2

El flujo de energía magnética $\phi_{me}$ en $erg cm^{-2} s^{-1}$ liberado en un evento a la corona desde los eventos del chorro se puede expresar como la suma de los flujos de energía cinética $\phi_{kin}$ , energía potencial $\phi_{pot}$ , entalpía $\phi_{ent}$ , energía de olas $\phi_{wav}$ y energía radiativa $\phi_{rad}$ . Esto se expresa como

ϕ_{metro mi} = ϕ_{k i norte} + ϕ_{pag o t} + ϕ_{mi norte t} + ϕ_{w a v} + ϕ_{r a d} .

$\begin{equation} \phi_{me}= \phi_{kin} + \phi_{pot} + \phi_{ent} + \phi_{wav} + \phi_{rad} .\end{equation}$

Esto se determina como todas las rutas potenciales para que se utilice la energía magnética. Puede derivarse, en parte, de la relatividad general. La transferencia de energía debida a la conducción térmica se ignora porque los otros mecanismos de transferencia de energía son órdenes de magnitud más dominantes (Pucci 2013, Magyar 2015, Paraschiv 2015).

flujo de masa

Para comenzar se debe introducir el flujo másico. El flujo de masa es simplemente la masa que pasa a través de un área por segundo. Considere un área, $A$ , con vector unitario $\hat{n}$ en la superficie de nuestro volumen. Las partículas fluidas que están en la superficie en el momento $t$ se alejará de la superficie en el momento $t+\Delta t$ y barrerá un volumen dado por

V = {\dot{r}}_{norte} A Δ t

$\begin{equation} V =\dot{r}_{n} A \Delta t \end{equation}$

dónde $\dot{r}_{n} = \dot{\textbf{r}} \cdot \hat{\textbf{n}}$ es la componente del vector velocidad normal al área. La masa de fluido en este volumen barrido que atraviesa el área durante el $\Delta t$ intervalo, es

Δ metro = ρ Δ V = ρ {\dot{r}}_{norte} A Δ t .

$\begin{equation} \Delta m = \rho \Delta V = \rho \dot{r}_{n} A \Delta t .\end{equation}$

La tasa de esta masa que pasa a través del área se puede escribir como

\dot{metro} = \underset{Δ t \to 0}{límite} \frac{Δ metro}{Δ t} = ρ {\dot{r}}_{norte} A .

$\begin{equation} \dot{m} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho \dot{r}_{n} A .\end{equation}$

El flujo de masa, $\phi_{ma}$ se define entonces como la tasa de masa que pasa por unidad de área,

ϕ_{metro a} = \frac{\dot{metro}}{A} = ρ {\dot{r}}_{norte} A

$\begin{equation} \label{eq:mass_flux} \phi_{ma} = \frac{\dot{m}}{A} = \rho \dot{r}_{n} A \end{equation}$

y esta expresión coincide con valores de la literatura (Aris 1990).

Flujo de energía cinética

De la termodinámica conocemos la tasa de trabajo. $\dot{W}$ irá hacia la energía cinética $T$ y la energía interna total, $\epsilon \ m$ , del fluido en alguna proporción desconocida. Esta ambigüedad se resuelve definiendo la energía específica total, $\epsilon_0$ que es la suma de la energía específica interna y cinética por masa:

ϵ_{0} \equiv ϵ + \frac{T}{metro} .

$\begin{equation} \epsilon_0 \equiv \epsilon + \frac{T}{m} .\end{equation}$

Esta energía específica es la energía total por unidad de masa y puede considerarse como una densidad de energía. Nosotros, sin embargo, preferiríamos esto en términos de velocidad en lugar de energía cinética, ya que esto se entiende de forma más natural y se puede acceder fácilmente a él de manera espiratoria. Consideramos el cambio de energía en el tiempo, también conocido como potencia. Suponiendo una fuerza constante, el cambio de energía debido a una fuerza es

d mi = F \cdot dr.

$\begin{equation} dE = \textbf{F} \cdot \textbf{dr} \end{equation}$

y así podemos reescribir la potencia como

PAG = \frac{d mi}{d t} = \frac{F \cdot dr.}{d t} = F \cdot \dot{r} .

$\begin{equation} P = \frac{dE}{dt} = \frac{\textbf{F}\cdot\textbf{dr}}{dt} = \textbf{F} \cdot \dot{\textbf{r}} .\end{equation}$

Usando la segunda ley de Newton, $\textbf{F} = m\ddot{\textbf{r}}$ podemos reescribir la ecuación anterior como

PAG = \dot{r} \cdot F = \dot{r} \cdot metro \ddot{r} = \frac{metro}{2} \frac{d (\dot{r} \cdot \dot{r})}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} metro {\dot{r}}^{2})

$\begin{equation} P = \dot{\textbf{r}} \cdot \textbf{F} = \dot{\textbf{r}} \cdot m \ddot{\textbf{r}} = \frac{m}{2} \frac{d(\dot{\textbf{r}} \cdot \dot{\textbf{r}})}{dt} = \frac{d}{dt} \Big(\frac{1}{2} m \dot{\textbf{r}}^{2} \Big) \end{equation}$

Definimos la energía cinética del movimiento como la cantidad que corresponde a esta potencia como

T = \frac{1}{2} metro {\dot{r}}^{2} .

$\begin{equation} T = \frac{1}{2}m \dot{\textbf{r}}^{2} .\end{equation}$

Volviendo a la ecuación anterior y sustituyendo la energía cinética por unidad de masa, nos queda una expresión para la energía específica total,

ϵ_{0} \equiv ϵ + \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2} .

$\begin{equation} \epsilon_0 \equiv \epsilon + \frac{1}{2}\dot{\textbf{r}}^{2} .\end{equation}$

Entonces, para resumir, el $\epsilon$ se relaciona con la energía interna molecular y la $\frac{\dot{\textbf{r}}^{2}}{2}$ se relaciona con el movimiento masivo de las moléculas. A partir de la definición de flujo dada, el flujo de energía cinética se define como el flujo de masa multiplicado por la energía cinética por unidad de masa dividido por el área:

ϕ_{k mi} = \frac{\dot{metro} \times \frac{T}{metro}}{A} .

$\begin{equation} \phi_{ke} =\frac{ \dot{m} \times \frac{T}{m}}{A} .\end{equation}$

Ahora podemos ver que la energía cinética dividida por la masa es $\frac{T}{m} = \dot{\textbf{r}}^2/2$ , y el flujo de masa viene dado por el flujo de masa y, por lo tanto, el flujo de energía cinética viene dado por

ϕ_{k mi} = \frac{\dot{metro} \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2}}{A} = \frac{ρ (\dot{r} \cdot \hat{norte}) A \frac{1}{2} {\dot{r}}^{2}}{A} .

$\begin{equation} \phi_{ke} = \frac{\dot{m} \frac{1}{2} \dot{\textbf{r}}^2}{A} = \frac{ \rho (\dot{\textbf{r}}\cdot \hat{\textbf{n}}) A \frac{1}{2} \dot{\textbf{r}}^2}{A} .\end{equation}$

El flujo cinético se puede simplificar aún más, ya que podemos aproximarnos $\dot{\textbf{r}} \cdot \hat{\textbf{n}} = \dot{r}$ porque la mayoría de las partículas en las erupciones solares se mueven todas en una dirección uniforme y estamos interesados en el flujo perpendicular al área que divide el movimiento de la erupción. Usando esta simplificación, nos queda la expresión para el flujo de energía cinética:

ϕ_{k mi} = ρ \frac{1}{2} {\dot{r}}^{3} .

$\begin{equation} \phi_{ke} = \rho \frac{1}{2} \dot{r}^3 .\end{equation}$

Esta es la expresión que se usa cuando se habla de jets coronales en la literatura (Johnston 2017, Pucci 2013, Paraschiv2015).

Profundo · Answer 3

Tu pregunta es un poco confusa. Cuando calculamos el flujo de algo, nos referimos al flujo a través de un elemento de área plana. Tomamos un cubo si vamos a hacer un análisis de volumen de control, y luego entran en juego las diferencias en los flujos a través de las caras paralelas del cubo. Si $\phi$ es cualquier propiedad escalar extensiva llevada por el fluido/partícula, entonces su flujo (por unidad de área) es simplemente $\phi \mathbf{v}$ , dónde $\mathbf{v}$ es el vector de velocidad del fluido/partícula bajo consideración. Si estás considerando la energía cinética de una partícula, entonces $\phi=\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\frac{1}{2}mv^2$ , y el flujo correspondiente es $\frac{1}{2}mv^2\mathbf{v}$ . Si ahora toma un elemento de área $\delta A~\mathbf{n}$ , entonces el flujo a través de él es $(\frac{1}{2}mv^2\mathbf{v})\cdot(\delta A~\mathbf{n})$ . En el caso del fluido $m$ es reemplazado por $\rho$ . Si el área normal está orientada paralela al vector velocidad, es decir $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ , solo entonces tienes un flujo (por unidad de área) igual a $\frac{1}{2}\rho v^3$ .

Sí, esta confusión fue fundamental para mi confusión. Tienes bastante razón: resolví una derivación general viable, la publicaré. Estaba confundiendo densidad de flujo con flujo (la integral de superficie). Mirando entre las formulaciones matemáticas y la física, hay que recordar los cambios de definición.

Derivación del flujo de energía cinética

Tomi

Pirx

endulo

Tomi

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kyle kanos

Tomi

Profundo

Tomi

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