¿Aplicando la ley de Ampere en una situación con un campo EEE no físico?

En una región sin corriente ni densidad de carga, los campos eléctrico y magnético obedecen a la ecuación de onda

$$\left( \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \mathbf E(\mathbf r, t) = 0$$

Este resultado se deriva directamente de las ecuaciones de Maxwell (lo más probable es que esté familiarizado con esta derivación; si no, es sencillo y se puede encontrar, por ejemplo, aquí ).

Obviamente, el campo eléctrico que le dieron no satisface la ecuación de onda, lo que significa que no es parte de una solución viable para las ecuaciones de Maxwell. En otras palabras, no hay campo magnético.$\mathbf B(\mathbf r,t)$tal que$\mathbf E(\mathbf r,t)$y$\mathbf B(\mathbf r,t)$juntos satisfacen las cuatro ecuaciones de Maxwell al mismo tiempo, lo que significa que la pregunta (que se refiere al flujo magnético) no tiene una solución significativa.

Este es un error (o posiblemente una omisión deliberada) por parte de su instructor, probablemente derivado del deseo de simplificar el cálculo para usted.

Una posible solución

Lo que podría haber escrito es algo como

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = E_0 \sin(\omega t) \cos(\frac{\omega}{c} y) \hat{\mathbf k}$$

Este campo eléctrico satisface la ecuación de onda y corresponde a un campo magnético dado por

$$\mathbf B(\mathbf r,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t) \sin(\frac{\omega}{c}y) \hat{\mathbf i}$$

El problema con algo como esto es que hace que la integral sea bastante complicada. Sin embargo, nuestro cálculo se puede simplificar suponiendo que el tamaño del bucle es muy pequeño en comparación con la longitud de onda de esta onda estacionaria, es decir$\frac{\omega a}{c} \ll 1$. Taylor expandiendo a segundo orden nos da

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = E_0 \sin(\omega t)\left(1 - \frac{\omega^2 y^2}{2c^2}\right) \hat{\mathbf k}$$ y $$\mathbf B(\mathbf r,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t) \left(\frac{\omega y}{c}\right)\hat{\mathbf i}$$

Realizando los rendimientos integrales de flujo

$$\iint \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \cdot d\mathbf S = \omega E_0\cos(\omega t) \int_0^{2\pi} \int_0^a r \left(1 - \frac{\omega^2}{c^2}r^2 \sin^2(\theta)\right) dr d\theta$$ $$= \omega E_0\cos(\omega t)\left( \pi a^2 - \frac{\omega^2}{c^2}\pi \frac{a^4}{4}\right)= \pi a^2 \omega E_0 \cos(\omega t)\left( 1 - \left[\frac{\omega a}{c}\right]^2\right)$$

La circulación correspondiente en el campo magnético sería

$$\oint \mathbf B \cdot d\mathbf r = \frac{\omega E_0}{c^2} \cos(\omega t) \int_0^{2\pi} a^2 \sin^2(\theta) d\theta = \frac{\pi a^2 \omega E_0}{c^2}\cos(\omega t)$$

que coincide con lo que esperamos al orden más bajo en$\left(\frac{\omega a}{c}\right)$.

Discusión

La clave de esto es el parámetro adimensional.$\epsilon \equiv \frac{\omega a}{c}$. El campo eléctrico proporcionado por su instructor puede verse como la aproximación más aproximada posible a un campo eléctrico real como el que anoté. Si esta aproximación es suficiente depende de lo que quiera hacer con ella; como puede ver, da correctamente la contribución de orden más bajo al flujo eléctrico a través del bucle, pero da incorrectamente que el campo magnético correspondiente se desvanece en todas partes . Para obtener el término de menor orden en$\mathbf B$de$\mathbf E$, necesitamos mantener al menos un término de orden superior.

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Para resumir, su instructor le proporcionó una aproximación a un físico$\mathbf E$campo. La aproximación es suficiente para calcular la circulación de los correspondientes$\mathbf B$campo al orden más bajo, pero no suficiente para calcular el$\mathbf B$campo mismo.

La Ley Ampere-Maxwell involucra la Derivada Parcial del campo de inducción magnética :

$$\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=-\frac{\partial\mathbf{B}(\mathbf{r},t)}{\partial t}$$

Note la diferencia entre una derivada total y una parcial :

Dejar$f(x,y,z,t)\equiv f(\mathbf{r},t)$ser una función de la posición y el tiempo, entonces su derivada total del tiempo es:

$$\frac{df(\mathbf{r},t)}{dt}= \frac{\partial f(\mathbf{r},t)}{\partial t}+\dot{\mathbf{r}}\cdot \nabla f(\mathbf{r},t)$$

Entonces, suponiendo que el campo magnético es de la forma$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=(B_x,B_y,B_z)$, el hecho de que las derivadas temporales parciales se anulan:

$$\frac{\partial B_x}{\partial t}=\frac{\partial B_y}{\partial t}=\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$$

no dice eso$\mathbf{B}$es constante en el tiempo. En este sentido, tu ejercicio no está mal planteado y la respuesta correcta es la que escribiste. No obstante, un campo eléctrico espacialmente uniforme pero variable en el tiempo no es en absoluto físico, como usted y algunos otros han señalado.