¿Falta la ley de Lenz en la ecuación de Maxwell?

(Alguien parece haber cometido un par de errores en las ediciones de la pregunta. El rizo de E aparece dos veces).

En el vacío, y en un sistema de unidades donde c=1, las dos ecuaciones de Maxwell de las que hablas se ven así:

$$\operatorname{curl}\textbf{E} = -\partial\textbf{B}/\partial t$$

$$\operatorname{curl}\textbf{B} = \partial\textbf{E}/\partial t$$

Realmente hay dos preguntas:

(1) ¿Deberían ser opuestos los dos signos o deberían ser iguales?

(2) Si son opuestos, ¿cuál debería ser cuál?

La respuesta a 2 es que esto es solo una cuestión de convención. En lugar de lo que llamamos campo magnético$\textbf{B}$, los humanos podrían haber elegido definir algo, llamarlo$\textbf{C}$, dónde$\textbf{C}=-\textbf{B}$. Bajo esta sustitución, los signos en las dos ecuaciones de Maxwell se invierten.

Puede haber más de una forma física de justificar el #1. Una forma es observar que la combinación de estos dos signos nos permite tener soluciones a las ecuaciones de Maxwell que son ondas oscilantes, mientras que si los signos fueran iguales, tendríamos soluciones que serían exponenciales. Es decir, el hecho de que el producto de los dos signos sea$-1$es lo que lo convierte en un sistema de retroalimentación negativa en lugar de un sistema de retroalimentación positiva.

La versión de la ley de Lenz que cita no es una buena manera de pensar en las ecuaciones de Maxwell. La inducción realmente no tiene nada que ver con corrientes o circuitos. Pero tenga en cuenta que la formulación de la ley de Lenz como "resistente al cambio" es invariante bajo el cambio de variables de B a C, ya que no hace referencia explícita o implícita a ninguna lateralidad. Lo de "resistirse al cambio" solo depende del producto de los signos y en realidad requiere que el producto sea -1.

La tercera ecuación es la forma diferencial de la ley de Faraday, que es un enunciado cuantitativo de la ley de Lenz. Consulte los artículos correspondientes de Wikipedia o la Electrodinámica de Jackson .

La pregunta en el cuerpo sobre el signo de la corriente de desplazamiento es distinta de esto. La respuesta es no".

La cuarta ecuación indica la dirección del campo magnético según la corriente y el campo E. No dice nada acerca de la inducción. Al escribir la definición del rizo, podemos ver que la ecuación establece la regla de la mano derecha.

Para una demostración, deje que una corriente fluya hacia arriba en la dirección z, por ejemplo. La siguiente expresión siempre es positiva si el vector B apunta en sentido antihorario alrededor del conductor, visto desde arriba:

$$(\nabla \times \mathbf B)_z = \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}$$

Ahora, supongamos un bucle donde hay una corriente creciente en sentido contrario a las agujas del reloj, cuando se mira desde arriba. El resultado es un dipolo magnético creciente que fluye hacia arriba dentro del bucle.

De acuerdo con la tercera ecuación, sin el signo menos, la misma regla (ahora el pulgar en la dirección del campo magnético) indicaría una corriente creciente también en sentido contrario a las agujas del reloj, en violación de la ley de Lenz.

yo tenia la misma duda.

La razón por la que puede parecer extraño y violar la conservación de la energía es que pensamos en el aumento exponencial de la energía cinética en las cargas ELÉCTRICAS.

busque las ecuaciones de Maxwell con monopolos magnéticos. Si te sientes cómodo con la orientación de los rizos y su relación con la integral de línea. Puedes seguir los pasos para ver si el signo provoca un aumento exponencial en la energía cinética de un monopolo magnético.

Si se hace correctamente, verá que el signo positivo en realidad tiene el mismo efecto con la carga magnética que el negativo con la carga eléctrica. El signo positivo actúa para oponerse a la corriente magnética.

Sin monopolos magnéticos no hay ninguna violación con la energía ya que es el campo eléctrico el que trabaja sobre las cargas, no el campo magnético.

(pero como dijo el comentarista anterior, la convención no importa, pero tienen que ser opuestas)

Suponiendo que te refieres a esto por la ley de Lenz:

$$\mathcal{E} = -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}$$ de https://en.wikipedia.org/wiki/Lenz%27s_law , esto es fácil de mostrar.

Tomando la fem alrededor de un lazo cerrado$C$cual es el borde de la superficie$S$, obtenemos

$$\begin{align} \mathcal{E} &= \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \tag{1}\\ &= \iint_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \tag{2}\\ &= \iint_S -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A} \tag{3}\\ &= -\frac{\partial}{\partial t} \iint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \tag{4}\\ &= -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}\tag{5}. \end{align}$$

(1) es por definición de fem, (2) es la ley de Stokes, (3) es la tercera ecuación de Maxwell, (4) se puede hacer si la superficie$S$no cambia en el tiempo y (5) lo es por definición.

Entonces, dado que la ley de Lenz se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell, no falta en ellas. Espero que con esto veas por qué está ahí el signo menos.