La entropía es constante. ¿Cómo expresar esta ecuación en términos de presión y densidad?

En hidrodinámica de un flujo ideal, no compresivo, usamos 5 variables: presión pag , densidad ρ y campo de velocidad v . Así que necesitamos 5 ecuaciones. La "Hidrodinámica" de Landau establece que las ecuaciones son:

  1. La ecuación de continuidad de masa ∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ v ) = 0

  2. La ecuación de Euler (3 componentes) ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ pag

  3. Una declaración del hecho de que no hay disipación de energía. d s d t = 0 ( s es la entropía por unidad de masa)

Mi pregunta: ¿cómo expresar la última ecuación en términos de las variables reales que estamos usando? Tenemos que asumir alguna forma de la ecuación de estado del fluido para hacerlo bien. Landau en su típica mirada de moda sobre él, asumiendo la perfecta comprensión de los lectores de la termodinámica, que no es mi caso, por desgracia.

PD. La pregunta está un poco relacionada con una más general que publiqué ayer: Forma explícita de la producción de entropía en hidrodinámica.

Respuestas (1)

En general, la quinta ecuación es la conservación de la presión:

∂ pag ∂ t + v ⋅ ∇ pag + γ pag ∇ ⋅ v = 0
que, dependiendo de su subcampo particular, generalmente se escribe en términos de energía total:
∂ mi ∂ t + ∇ ⋅ [ ( mi + pag ) v ] = 0
dónde mi = 1 2 ρ v 2 + pag ( γ − 1 ) − 1 . Sin embargo, si desea hacer esto en términos de entropía y está trabajando con un gas ideal , entonces podemos definir una variable
S ≡ pag ρ − γ
como una medida de la entropía (no la entropía en sí porque le faltan ciertas constantes, por ejemplo, la capacidad de calor a volumen constante C v ). Entonces puedes usar la derivada total para evolucionar S :
D S D t = ∂ S ∂ t + v ⋅ ∇ S = 0

La conexión entre esta medida de entropía, S , y la densidad de entropía, s , es

s = C v en ⁡ ( S ) = C v en ⁡ ( pag ρ − γ ) = C pag en ⁡ ( pag 1 / γ ρ − 1 )
donde usamos γ = C pag / C v entre estas dos últimas igualdades. La relación anterior se puede encontrar en la Sección 83 del texto Fluid Dynamics de Landau.

¿Le gustaría al votante negativo explicar lo que cree que está mal con mi respuesta?
¡Bueno, gracias! ¿Y cómo obtener (o justificar de alguna manera) esta ecuación de conservación de la presión?
Puedes comenzar con la termodinámica y decir mi ˙ = q ˙ − W ˙ (energía total = transferencia de calor - trabajo realizado), luego trabaje con las leyes de los gases ideales y llegue a él.
Pero probablemente sea más fácil comenzar con tensiones y deformaciones y obtener la conservación de la energía de esa manera (por ejemplo, la forma en que lo hace este sitio ).
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