Derivación de la conservación del momento angular a partir de las leyes de Newton [duplicado]

Derivando la forma rotacional de$\mathbf{\vec{F} = m \vec{a}}$(según solicitud en los comentarios)

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Comience con la segunda ley del movimiento de Newton

$$\vec{F} = m\vec{a}.$$

Multiplicar ambos lados por un producto cruzado vectorial con posición da

$$\underbrace{\vec{r} \times \vec{F}}_{\text{Definition of torque}} = \vec{r} \times m \vec{a}.$$

Usando la definición del producto vectorial, la ecuación anterior se puede expresar de manera equivalente como

$$|\vec{r} \times \vec{F}| = rma \; \sin{\theta}.$$

Observe que dado que la fuerza y ​​la aceleración son paralelas, podemos considerar$a \sin \theta$como la aceleración tangencial$a_t$. Finalmente, esto se puede convertir en la forma final dada por

$$\tau = mr^2 \left(a_t/r \right),$$

donde el momento de inercia y la aceleración angular están dados por

$$I=mr^2, \;\; \alpha = a_t/r,$$ respectivamente.

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Respuesta:

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Puedes considerar la ecuación de torque

$$\vec{\tau} = I \vec{\alpha},$$ como el equivalente rotacional de la segunda ley del movimiento de Newton, donde el par, el momento de inercia y la aceleración angular vienen dados por $\vec{\tau}, \; I$y $\vec{\alpha}$respectivamente.

Ahora observe que la aceleración angular es la derivada del tiempo de la velocidad angular

$$\vec{\tau} = \frac{d (I \vec{\omega})}{dt}.$$ que se puede reorganizar en forma integral $$\int\vec{\tau} dt= \int d(I \vec{\omega}).$$

Momento angular$\vec{L}$está dada por la relación$\vec{L}=I\vec{\omega}$. Finalmente, en la mecánica newtoniana, la conservación del momento angular se usa para analizar problemas de fuerza central, es decir, fuerzas en la dirección radial. Con esto en mente, cito la definición de torque en términos de fuerza

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F},$$ donde la posición y la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo están dadas por $\vec{r}$y $\vec{F}$respectivamente. Si la fuerza sobre algún cuerpo apunta constantemente en la misma dirección, entonces no hay torque sobre dicho cuerpo. Por eso $$C = I \omega = L,$$ y por lo tanto, $$\frac{d L}{dt} \equiv 0.$$

Usamos repetidamente el hecho de que un producto vectorial de vectores paralelos se anula. supongamos cuerpo$i$tiene posición$r_i$y el impulso$p_i\parallel\dot{r}_i$y momento angular$L_I=r_i\times p_i$entonces

$$\dot{L}_I=\underbrace{\dot{r}_i\times p_i}_{0}+r_i\times \dot{p}_i=r_i\times \dot{p}_i.$$ si cuerpo$j$ejerce una fuerza$F_{ij}$en cuerpo$i$,$\sum_i\dot{L}_i=\sum_{ij}r_i\times F_{ij}$.Por la tercera ley de Newton, esto es$\frac{1}{2}\sum_{ij}\left(r_i-r_j\right) \times F_{ij}$. El$ij$término desaparece si$F_{ij}$es radial.