La física básica en términos sencillos

Bien, entonces la idea básica es: un objeto en movimiento tiende a seguir moviéndose a la velocidad a la que se mueve.

Cuando aplicamos esto a la dinámica rotacional, tenemos un efecto interesante: la velocidad de un objeto va linealmente con el radio desde el centro alrededor del cual gira. Entonces, si algo gira con un período T, debe recorrer una distancia$2 \pi R$a tiempo$T$, por lo que su velocidad real en cualquier punto es$v 2 \pi R / T$. Muy a menudo llamamos a este parámetro$2 \pi / T$con el nombre de "velocidad angular" con el símbolo$\omega$(Griego minúscula "omega"), en un pequeño tiempo t barres un ángulo$\omega t$medida en radianes.

así que para mantener$v = R \omega$lo mismo, cuando algo se acerca al eje de rotación (inferior R) aumenta$\omega$en proporción inversa, lo que parece "girar más rápido". Esta es la razón por la que, por ejemplo, los patinadores artísticos contraen los brazos para girar más rápido o los dejan salir para girar más lento.

¿Por qué eso lleva a torcerse?

Ahora bien, si el gimnasta deja ambos brazos en alto, ejecutará solo el salto mortal sin giro: el eje de rotación es horizontal y corre paralelo a los hombros. Bajar un brazo significa que los dos lados de esa gimnasta quieren rotar a diferentes velocidades angulares alrededor de este eje. Y es este comportamiento el que se manifiesta como un giro sobre el eje central de la gimnasta.

¿Son formidables las matemáticas? En realidad, no es demasiado difícil. Tenemos que rastrear un par de velocidades diferentes aquí, pero para mantenerlo simple, imagina que estamos rastreando las velocidades de: el centro de masa en tu intestino, la garganta justo encima y los hombros al lado. En realidad, tres puntos son suficientes para especificar la posición y orientación de cualquier objeto rígido; la garganta simplemente la introducimos por conveniencia como un punto a medio camino entre los hombros y por lo tanto teniendo el promedio de sus velocidades.

Primero restamos el movimiento del centro de masa como aburrido: el centro de masa simplemente sigue una bonita parábola, bien por eso, no nos importa. Entonces ahora podemos ver a esta persona dando vueltas y vueltas en el espacio libre lejos de la gravedad, ya que esas son dos preocupaciones separadas. Sin embargo, seguiremos pensando en un "suelo" virtual debajo de él, y en ser "horizontal" o "vertical", "arriba" o "abajo" en referencia a él.

Bien, entonces, salto mortal hacia atrás, giro temprano. Nuestro saltador comienza en posición vertical, luego gira lentamente sobre su espalda, por lo que están horizontales y "boca arriba" cuando de repente tiran del brazo izquierdo hacia el centro del cuerpo. Justo antes, los hombros y la garganta se mueven hacia abajo con cierta velocidad.$-s$. El lado izquierdo recoge una velocidad descendente adicional$-\Delta s$. Si escribimos (velocidad del hombro izquierdo, velocidad de la garganta, velocidad del hombro derecho) escribiríamos que lo que sucedió ha sido el cambio$(-s, -s, -s) \mapsto (-s - \Delta s, -s - \frac{\Delta s}{2}, -s)$, ya que el hombro en movimiento quiere permanecer en movimiento y el otro hombro ha adquirido esta velocidad adicional.

Así que parte de la rotación sobre el eje original ha "desaparecido", porque eso es lo que nos dice la velocidad de la garganta. Reste la nueva velocidad de garganta (giro de rotación) y verá que las velocidades restantes son:$(-\frac{\Delta s}{2}, 0, +\frac{\Delta s}{2})$. Eso produce un giro del hombro izquierdo hacia atrás y el hombro derecho hacia adelante, que es lo que experimentarías, como gimnasta, como una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

Si giras con el salto mortal, el giro siempre se ve igual.

De hecho, no importa en qué dirección mire, por lo que puedo decir: la "aducción" (bajada) de la extremidad izquierda da una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj (como lo ve usted) para un salto mortal hacia atrás tanto al principio y el final de su trayectoria, ya sea que esté tratando de girar temprano o tarde.

Sin embargo, tal vez esté juzgando los giros desde el suelo, particularmente desde un marco que está mirando el salto "en el camino" que está ocurriendo. Luego, cuando vea a alguien que está boca arriba o boca abajo ejecutando lo que cree que es una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, se verá en sentido contrario a las agujas del reloj cuando lo veamos de frente (miramos hacia el suelo cuando etiquetamos nuestras rotaciones como en sentido contrario a las agujas del reloj). o en el sentido de las agujas del reloj, en lugar de mirar al cielo, por lo que es una vista de pájaro) o en el sentido de las agujas del reloj cuando los vemos de pie. Entonces, si esta gimnasta viene hacia ti, un brazo izquierdo que baja en la primera mitad de su salto, cuando su cabeza mira hacia ti, mira en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que en la segunda mitad de su salto mira en el sentido de las agujas del reloj, y viceversa.

Fuerzas ficticias, velocidades angulares

Las matemáticas que se aplican aquí, permitiéndonos describir el mundo desde la perspectiva de la persona que está dando un salto mortal, son las matemáticas de los marcos de referencia giratorios . Cuando haces que tus coordenadas giren de alguna manera, como con el "backflip" inicial de la gimnasta, entonces tienes que agregar dos "fuerzas ficticias". Diremos que el centro de masa de la gimnasta se mueve horizontalmente en el$\hat x$dirección, y verticalmente en el$\hat y$dirección. También describiremos la dirección a la izquierda de la gimnasta, que cuando comienzan es$\hat x \times \hat y$en términos del producto cruz, como el$\hat z$dirección: en esta dirección se sienta un público que observa cómo la gimnasta se mueve de izquierda a derecha.

Comienzan girando cabeza a cabeza con cierta frecuencia angular.$\omega$; en física lo tratamos como un vector cuya magnitud es$\omega$pero cuya dirección está en el eje de rotación. Eso especifica solo dos direcciones opuestas, por lo que la convención habitual es la "regla de la mano derecha", dobla la mano derecha en la dirección en la que van y el pulgar apunta en la dirección "correcta"; si estás mirando el vector de rotación$\vec \omega$"tip-on", entonces la rotación parece en sentido contrario a las agujas del reloj. Eso significa que nuestro vector de rotación para una voltereta hacia atrás en nuestro marco de referencia giratorio, en términos de coordenadas terrestres, es:

$$\vec \omega = - \omega \hat z$$ .

Con las dos fuerzas ficticias, podemos simplemente hacer física en el marco de co-rotación. Supongamos que tenemos un sistema rígido de 3 cuerpos con una masa M en la posición$(x, y, z) = (0, -d, 0)$con dos "hombros" sin masa en$(x, y, z) = (0, 0, \pm s)$soportando dos "brazos" de masa m a la altura h:$(0, h, \pm s)$. Nosotros elegimos$d$de modo que el centro de masa esté en 0; esto significa$d = 2 m h / M$. Esto significa que hay un equilibrio de fuerzas de fuerzas centrífugas.$-m \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)$, así como un equilibrio de par: en nuestro marco de referencia co-rotatorio, nada está cambiando todavía.

Dos fuerzas de función delta, algunas volteretas centrífugas/centro de masa irrelevantes.

En breve$t$tiramos$h$completamente en su hombro a una velocidad constante$h/t$. Esto requiere dos fuerzas breves e intensas dirigidas desde el brazo izquierdo hasta el hombro, que eventualmente se deshacen entre sí pero empujarán el sistema hacia arriba por una distancia.$d/2$y gire el sistema un poco sobre su centro de masa en la "rueda de carro a la derecha" ($\hat x$) dirección. Ignoraremos esto porque$M$es grande en comparación con$m$.

Ahora hay un par centrífugo: solíamos tener un balance de par centrífugo y todavía casi (para pequeños$d$) tienen un equilibrio de fuerza centrífuga que se vuelve exacto cuando aceptamos la ligera rotación de arriba: pero ahora el par debido a la fuerza centrífuga a la derecha$m$está desequilibrado. Esto conduce a una rotación más persistente de "rueda de carro a la izquierda" (-\hat x), al menos al principio: cuanto más va en esta dirección, disminuye su propio brazo de esfuerzo y aumenta el brazo de esfuerzo de$M$y mueve la izquierda$m$para contrapesar. Podemos imaginar que básicamente oscila alrededor de un equilibrio, lo que llamaríamos precesión alrededor de un eje. Esto tampoco es realmente la torsión.

Estos efectos de "rueda de carro" definitivamente son algo perceptibles; vea, por ejemplo , este video instructivo donde puede ver que, mientras el joven está en el aire y boca abajo, no apunta directamente a lo largo del$\hat y$pero a lo largo de alguna combinación de$\hat y$y$\hat z$.

Twist proviene de la fuerza de Coriolis.

El efecto restante es la fuerza de Coriolis,$-2m \vec \omega \times {d\vec r \over dt}.$Esto no tiene un par de larga duración porque después de un corto tiempo$t$lo sabemos$\frac{d\vec r}{dt} = 0$para la masa izquierda. Pero mientras se mueve , la fuerza de Coriolis proporciona una fuerza constante

$$-2 m (-\omega \hat z)\times(-\frac{h}{t}~\hat y) = +2m \omega ~\frac{h}{t}~\hat x$$ a cualquiera de los hombros si su brazo cae/aduce: un movimiento "hacia adelante" derivado tanto del signo de $h$como positivo y la elección de la dirección para $\vec\omega$a lo largo de $-\hat z$eje.

Si empiezas enfrentando$-\hat x$entonces el$-\hat z$la rotación es un "salto mortal hacia atrás" y "su hombro izquierdo" está en$s \hat z$. Este movimiento de su hombro izquierdo parece ser "hacia su espalda", como mencioné anteriormente. Hagamos esto explícitamente.

El par de la fuerza es

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F = \int_0^1d\alpha~\left[\begin{array}{c}0\\ \alpha h \\ s\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c}2m \omega h/t\\ 0\\ 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\ 2 ~m~ \omega~ h ~s / t\\-m ~\omega ~h^2/t\end{array}\right]$$ que actuando en un tiempo $t$produce un momento angular neto en el marco de co-rotación de: $$\vec L = t~\vec \tau = \left[\begin{array}{c}0\\ 2 ~m~ \omega~ h ~s \\-m ~\omega ~h^2\end{array}\right]$$ La componente z de esta expresión sugiere, de hecho, que comienzas a rotar hacia adelante más rápido (¡porque tiraste de una extremidad y te hiciste girar un poco más rápido!) y también que comienzas a "girar" sobre el $\hat y$eje. Su momento de inercia con respecto a este eje es solo $2 m s^2$por lo que debe describir una tasa de rotación $+~\hat y~\omega~h/s$, que es en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba hacia abajo, la forma en que describiría su rotación.

Nuevamente, desde el suelo, el problema es básicamente que si coloca una parte superior en un vaso que gira en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve "normalmente" desde arriba hacia abajo, entonces si lo mira desde debajo de la mesa de vidrio verá que se mueve en el sentido de las agujas del reloj. . Del mismo modo, si ves la rotación de la gimnasta en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el suelo, depende de si su cabeza apunta hacia ti (en el sentido contrario a las agujas del reloj) o si sus pies apuntan hacia ti (en el sentido de las agujas del reloj).