Demuestre: AAA y BBB conmutan, por lo tanto, las funciones f (A) f (A) f (A) y g (B) g (B) g (B) siempre conmutarán entre sí [cerrado]

¿Cómo puedo / puedo realmente probar la relación?

[ a , b ] = 0 ⇒ [ F ( a ) , gramo ( b ) ] = 0 para todas las funciones F , gramo .

Lo pregunto porque la siguiente oración en la solución de mi tarea de mecánica cuántica me irrita:

Para i ≠ j , el norte ^ i conmutan unos con otros, y por lo tanto las funciones de la norte ^ i siempre viajan unos con otros.

Dónde norte ^ i = a ^ i † a ^ i con los operadores de Bose a ^ i † , a ^ i . No es mi tarea probar esa relación, pero la relación en sí era necesaria para poder resolver el ejercicio.

La prueba habitual de los físicos de esto procede directamente mediante la expansión de Taylor F , gramo .
Pero F y gramo no tiene por qué ser analítico, por lo que el físico se quedaría con un terrible dolor de cabeza :P
Primero hay que definir qué F ( a ) medios para los operadores. Como señaló AcuriousMind, la expansión de Taylor es el camino a seguir y probablemente cubra todas las funciones de los operadores que encontrará. Pero los hay no analíticos, por ejemplo F ( X ) = mi − 1 / X . Una definición más general es ir a una base donde A está diagonalizado (si A es un observable, entonces esto debería ser siempre posible), y en la base propia de A , F ( A ) actúa en diagonal y está perfectamente definido. Con esto se puede anotar F ( A ) en cualquier otra base.
(continuación) Usando esta definición, ya que a , b conmutan, pueden ser simultáneamente diagonalizados y [ F ( A ) , F ( B ) ] = 0 se sigue trivialmente del hecho de que las matrices diagonales siempre conmutan entre sí. Aunque lo demostramos en una base particular, esta es una declaración independiente de la base y hemos terminado.
@MengCheng Lamentablemente, no puedo marcar su respuesta como aceptada, pero gracias por explicarlo de una manera fácilmente comprensible.

Respuestas (1)

Para elementos normales en un álgebra C*, puede hacer cálculo funcional continuo, es decir, si a es un operador normal, entonces F ( a ) está bien definido para cualquier F ∈ C ( σ ( a ) ) . Desde σ ( a ) siempre es compacto, puede usar Stone-Weierstrass para escribir F como un límite uniforme de polinomios en una variable compleja y su complejo conjugado. Por lo tanto, puede verificar lo que necesita en polinomios. Si a y b conmutar, entonces a 2 y b 2 viajar y así sucesivamente. Por eso F ( a ) y gramo ( b ) viajar por cualquier F ∈ C ( σ ( a ) ) y gramo ∈ C ( σ ( b ) ) . Para las álgebras de von Neumann, se puede llevar este argumento a las funciones de Borel.

Esta es una muy buena respuesta, pero cambiaría un par de cosas para que quede más clara. Primero, creo que puede haber un error tipográfico en "Por lo tanto, puedes...", porque actualmente se lee como si la verificación de polinomios se dedujera de tu argumento de Stone-Weierstrass: Sé que no estás diciendo eso, pero creo podría implicar eso. Está utilizando SW para extender un resultado válido para polinomios a C ( σ ( a ) ) . Entonces, ¿por qué no escribir primero el bit de polinomios (especialmente porque es probable que el OP haya visto ese argumento en un libro de texto) y luego pasar al límite uniforme usando SW?
También creo que necesitas decir en alguna parte que a se supone que está acotado, por lo tanto σ ( a ) es compacto Es una suposición que el OP no ha declarado y también " σ ( a ) siempre es compacto" es probable que salga del campo izquierdo para el OP.
Además, para complementar, la respuesta tal como está no se aplica al operador numérico del OP, que es autoadjunto pero ilimitado. Para los operadores de desplazamiento autónomos (y eso significa no solo [ a , b ] = 0 en un dominio denso adecuado, pero que todas las proyecciones espectrales conmutan), la prueba viene dada inmediatamente por el teorema espectral en su forma de cálculo funcional para todas las funciones medibles (con respecto a la familia espectral común).
@WetSavannaAnimalakaRodVance Gracias por sus comentarios. De hecho, tiene razón en que primero verifica la propiedad en polinomios y luego, por SW, puede extenderla a funciones continuas. Por mi suposición de que los operadores son de un álgebra C*, se deduce que están acotados, por lo que esa condición ya está establecida en la respuesta.
Ah, la continuidad de los operadores C* te da esto, ¿verdad?: ¡Entendido! Gracias.
Sí. Más generalmente, cada elemento de un C*-álgebra tiene una norma finita y cada ∗ -el homomorfismo (como una representación) es siempre contractivo.
Demuestre: AAA y BBB conmutan, por lo tanto, las funciones f (A) f (A) f (A) y g (B) g (B) g (B) siempre conmutarán entre sí [cerrado]
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