Condiciones de estado estacionario de un espacio anular generador de calor

Antecedentes: Curso universitario de transferencia de calor, TA hizo un problema en la pizarra que involucraba un sólido anular generador de calor uniforme, enfriado por dentro y por fuera por un flujo de refrigerante. Las condiciones de contorno se dan para que las temperaturas de la superficie interior y la superficie exterior sean las mismas ( T i = T o ). Esto terminó con una solución muy limpia a lo que buscaba el problema. Entonces traté de hacer T i ≠ T o y los cálculos se convirtieron en un desastre. Luego me pregunté si la condición de estado estacionario significaba que las temperaturas necesariamente tenían que igualarse si había una generación de calor y enfriamiento uniformes. Le pregunté al TA y no me pudieron dar una respuesta directa, y no sé cómo hacer para poner una prueba de una forma u otra. La búsqueda en línea arrojó información sobre la transferencia de calor, pero nada lo suficientemente similar a la pregunta que tengo.

Preámbulo: Considere un sólido anular con R i < R o , generación de calor volumétrica uniforme q ˙ , conductividad uniforme k , y enfriado con el mismo flujo de refrigerante en las superficies interior y exterior. El sistema está en estado estacionario.

Proposición: T i = T o para un perfil de sección transversal tomado en cualquier punto a lo largo del sólido.

Proceso de pensamiento: el perfil de temperatura se ajustará de tal manera que haya un flujo de calor uniforme a través de cada límite en contacto con el flujo de refrigerante. Aprovechando la condición de contorno sin deslizamiento, sabemos que las únicas partículas de refrigerante que reciben transferencia de calor son el volumen diferencialmente pequeño que se distribuye en cada superficie, por lo que podríamos decir que la superficie de contacto del fluido es la misma que la del sólido anular. .

Estamos ignorando el efecto que tendrá el grosor del espacio anular en el flujo de refrigerante, así como los efectos finales debido a la transferencia de calor desde los extremos del plano. Alternativamente, considere que la longitud del sólido anular (¿puedo llamarlo tubería?) Es infinita, creo que ambos conducen al mismo efecto al final.

Entonces, ¿mis pensamientos sobre esto son correctos? Si lo son, ¿cómo debo presentarlo como prueba? Si no, ¿cuál es la relación real (ideal) entre T i y T o ?

Gracias por cualquier ayuda e información que pueda proporcionar con respecto a este asunto.

Tus pensamientos no son correctos. ¿Está especificando las temperaturas en las paredes interior y exterior del espacio anular, o está especificando un coeficiente de transferencia de calor de la pared a un fluido que fluye externamente? De cualquier manera, las temperaturas de las dos paredes no tienen que ser iguales a menos que las obligues a ser iguales. Veamos tu análisis que te causó problemas.
Secundando la respuesta de Chester. La única razón por la que las temperaturas de la superficie interior y exterior serían necesariamente iguales es si la transferencia de calor por convección del fluido fuera infinitamente alta; en este caso, las temperaturas del anillo interior y exterior simplemente serían iguales a la temperatura del refrigerante. No se puede decir que el flujo de calor de la superficie interior es igual al flujo de calor de la superficie exterior porque las circunstancias son asimétricas (porque los radios son diferentes). Para determinar la relación entre las temperaturas interior y exterior, debe formular y resolver la ecuación de calor diferencial adecuada.

Respuestas (1)

No, tu proposición es incorrecta. Su situación física está perfectamente definida y el perfil de temperatura del sistema solo necesita adaptarse a ella. El hecho de que los cálculos se hayan desordenado no tiene nada que ver con si el sistema está bien especificado o no.

Ahora, el perfil anular bidimensional complica las cosas, pero para mostrar que esto es perfectamente factible, permítanme hacer lo mismo pero en una dimensión, donde la ecuación de calor en estado estacionario toma la forma

− k d 2 T d X 2 = q ˙ ,
con condiciones de contorno T ( X i ) = T i y T ( X o ) = T o . La solución general de la ecuación diferencial dice
T ( X ) = − q ˙ 2 k X 2 + A X + B ,
e imponer las condiciones de contorno lo reduce a
T ( X ) = − q ˙ 2 k ( X − X i ) ( X − X o ) + T i X − X o X i − X o − T o X − X i X i − X o ,
demostrando que hay un solo perfil de temperatura bien definido para esta configuración. (Los detalles de la ecuación radial son ligeramente diferentes, pero estructuralmente es exactamente igual).

Finalmente, para aclarar las cosas por completo, es instructivo observar el flujo de calor en los bordes: en general, tenemos

k d T d X = − q ˙ 2 k [ ( X − X i ) + ( X − X o ) ] + T i − T o X i − X o ,
que en los límites da
k d T d X ( X i ) = − q ˙ 2 k ( X i − X o ) + T i − T o X i − X o a norte d k d T d X ( X o ) = − q ˙ 2 k ( X o − X i ) + T i − T o X i − X o ,
cuyos signos pueden diferir según el tamaño ( T i − T o ) / ( X i − X o ) , el gradiente de temperatura impuesto externamente, es en comparación con el calentamiento q ˙ sobre los radios dados (y, en 2D, con algunas complicaciones adicionales provenientes de la geometría, pero nada importante).

Así que sí, ahí lo tienes. Las ecuaciones diferenciales lineales tienden a producir superposiciones de soluciones independientes, y eso es todo lo que está en juego aquí.

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