Fuente: p 195. Sweet Reason: A Field Guide to Modern Logic (2010 2 ed) por Henle, Garfield, Tymoczko.
reemplacé la del autor, 2 giradas 180º con ❷, y 2 volteadas horizontalmente 180º ✌; porque no sé cómo producirlos con Unicode.
Tenemos un nuevo cuantificador para ti. es ❷. ❷ xPx significa “hay al menos dos objetos con la propiedad P”. [El resto de la pregunta es irrelevante para lo siguiente.]
29!! [El autor usa dos signos de exclamación (de 3) para clasificar la dificultad de un ejercicio.]
El cuantificador ∀ tiene un compañero, ∃. Son socios en el sentido de que ∀¬ significa lo mismo que ¬∃ y ¬∀ significa lo mismo que ∃¬. Defina un cuantificador (llámelo ✌) tal que:
29.1. ❷¬ y ¬✌ tienen el mismo significado
29.2. ✌¬ y ¬❷ tienen el mismo significado.[Respuesta del libro en la página 364:] ✌ xPx significa que todos o todos menos uno tienen la propiedad P.
29.1. Por definición, ❷¬ significa: ∃ 2 objetos no.
29.2 Por definición, ¬❷ significa: ¬(∃ ≥ 2 objetos) ⇔ ∄ ≥ 2 objetos ⇔ ∃ 0 o 1 objeto.
Pero no sé cómo seguir deduciendo el significado de ✌.
La negación de "hay al menos dos..." es "hay como mucho uno...", es decir, "no hay..." o "hay uno y sólo uno...". Por lo tanto
¬❷ x PAGS x ≡ (¬∃ x PAGS x ) ∨ (∃! x PAGS x )
donde ∃! es el cuantificador existencial único definido por
∃! x PAGS x ≡ ∃*x( PAGS x* ∧ ∀ y (PAGS y → y = x ))
Por definición
✌ x ¬P x ≡ ¬❷ x P x
Por lo tanto (reemplazando P x por ¬P x )
✌ x P x ≡ ¬❷ x ¬P x ≡ (¬∃ x ¬P x ) ∨ (∃! x ¬P x ) ≡ (∀ x P x ) ) ∨ (∃! x ¬P x )
entonces ✌ x P x significa "o todos los objetos tienen la propiedad P, o exactamente un objeto no tiene la propiedad P"; en otras palabras, "como máximo un objeto no tiene la propiedad P".
❷¬Px significa: 'hay al menos dos x para los que Px no se cumple'. Esto tiene que ser equivalente a ¬✌Px. Por lo tanto, ✌Px tiene que ser la negación de 'hay al menos dos x para los que Px no se cumple'. Esto es, entonces, 'hay como máximo una x (es decir, cero o uno) para la cual Px no se cumple' o 'para todas las x excepto como máximo una, Px se cumple' (en la segunda formulación, se ve la analogía con la existencia -para todos los pares).
Si tomamos esta definición, entonces ✌¬Px significa: 'para todo x excepto como máximo uno, Px no se cumple'. Esto es equivalente a 'hay como máximo una x para la cual Px se cumple'. La negación de esto es 'hay al menos dos x para los que se cumple Px', que se formaliza como ❷Px, según se requiera.
Para deducir el significado de ✌, puede ser útil enumerar las situaciones en las que ✌Px debería cumplirse. Esto se hace implícitamente en el primer párrafo: de 29.1 derivamos que ✌Px se cumple cuando hay cero o una x con Px.
❷xPx se puede expresar sin crear un nuevo cuantificador, porque ❷xPx significa:
1 simplemente afirma que existe x con la propiedad P, y existe otro objeto con la misma propiedad que no es equivalente a él. Eso deja abierta la posibilidad de que haya más de dos objetos con la misma propiedad. A partir de eso, podemos derivar la expresión asociada negando 1 de la siguiente manera:
2. ~Ǝx[Px & Ǝy[Py & ~(x = y)]] 3. ∀x[~(Px & Ǝy[Py & ~(x = y)]] 4. ∀x[~Px ∨ ~Ǝy[Py & ~(x = y)]] 5. ∀x[Px → ~Ǝy[Py & ~(x = y)]] 6. ∀x[Px → ∀y[~(Py & ~(x = y))]] 7. ∀x[Px → ∀y[~Py ∨ (x = y))]] 8. ∀x[Px → ∀y[Py → (x = y))]]
Eso afirma que para cada x con la propiedad P, cualquier instancia de y con la misma propiedad debe ser idéntica a x. En otras palabras, la expresión asociada dice que hay como máximo una x con esa propiedad.
Eliran
usuario9166
usuario8572