¿Dónde se deben colocar los cuantificadores al traducir oraciones a la lógica de predicados?

He estado tratando de aprender lógica formal pero estoy algo confundido. Dada la siguiente clave, ¿cómo simbolizaría la oración "Todos los que confían en Ingmar confían en un vegetariano?"

Dominio: personas
Vx: x es vegetariano.
Txy: x confía en y
i: Ingmar

En el texto que estoy usando, la respuesta correcta se muestra como ∀x[Txi→∃y(Txy&Vy)], pero me preguntaba cuál sería el efecto de cambiar el alcance de ∃y para que la oración se simbolice como ∀ x∃y[Txi→(Txy&Vy)]? ¿Hay alguna diferencia entre estas dos traducciones? Por lo que puedo decir, la primera traducción significa que es cierto para todos los miembros x del dominio que si x confía en Ingmar, entonces hay alguna persona y tal que x confía en yey es vegetariano. Mientras que, si estoy interpretando esto correctamente, la segunda traducción parece decir que es cierto para todas las personas x que hay alguna persona y tal que si x confía en Ingmar, entonces x también confía en y que es vegetariano.

Respuestas (1)

Sus reformulaciones de fórmulas en palabras son correctas, pero en este caso mover el cuantificador no hace ninguna diferencia lógica (clásicamente). Puede verificar esto convirtiendo fórmulas en una forma equivalente sin implicaciones usando A → B = ¬A ∨ B, y luego usando el hecho de que los cuantificadores se pueden mover libremente a través de la conjunción y la disyunción siempre que las variables que unen se mantengan distintas, consulte el prenexo forma normal Por lo tanto,

∀x[Txi → ∃y(Txy ∧ Vy)] = ∀x[¬Txi ∨ ∃y(Txy ∧ Vy)]

                        = ∀x∃y[¬Txi ∨ (Txy ∧ Vy)]  = ∀x∃y[Txi → (Txy ∧ Vy)].

En otras palabras, las dos "simbolizaciones" son lógicamente equivalentes, aunque en palabras la segunda suene más torpe. En algunas lógicas no clásicas, la fórmula de conversión A → B = ¬A ∨ B no es válida, pero sospecho que no tiene que preocuparse por eso.

Sin embargo, tenga en cuenta que incluso las cosas clásicas serían diferentes si tuviera un cuantificador en la premisa de la implicación en lugar de en su conclusión:

∀x[∃y(Txy ∧ Vy) → Txi] no es lógicamente equivalente a ∀x∃y[(Txy ∧ Vy) → Txi].

La negación en ¬A ∨ B ahora impide que uno se mueva ∃y fuera.

Interesante diferencia en la terminología. Me referiría a la primera parte del si-entonces como el antecedente del condicional . La terminología de "premisa" que generalmente he visto restringida para referirse a las premisas de un argumento (que, por supuesto, puede verse como una especie de condicional).
@Dennis Por favor, no leas demasiado, en realidad estaba pensando en usar la terminología antecedente/consecuente, pero decidí que sonaría demasiado "elegante".
Oh, definitivamente no estaba leyendo mucho sobre eso. Tenía más curiosidad por saber si había diferentes convenciones en otras partes del mundo ya que (quizás por error) de alguna manera tuve la impresión de que no estabas basado en los EE. UU.
¿Dónde se deben colocar los cuantificadores al traducir oraciones a la lógica de predicados?
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