¿Por qué el principio de superposición y la interpretación de Copenhague no se contradicen entre sí?

Cambiar el factor de multiplicación general de un estado no tiene efecto, pero cambiar la "cantidad" relativa de cada estado seguramente lo afecta. Entonces, en tu ejemplo, significa que cuando tienes un estado puro como$|\psi \rangle = |x_1 \rangle$, no importa si lo multiplicas por cualquier$c \in\mathbb{C}$, porque lo que te importa, la probabilidad de encontrarlo en estado$|x_1 \rangle$, siempre será:

$$P = \frac {|\langle x_1|\psi \rangle|^2}{|\langle \psi|\psi \rangle|^2} = \frac {|c|^2}{|c|^2}=1$$

En su próximo ejemplo, lo mismo es cierto para su estado$|\alpha \rangle$, puedes multiplicarlo por cualquier$N \in\mathbb{C}$, y obtendrás el mismo significado físico, es decir, las probabilidades relativas serán las mismas. Explícitamente:

$$P_{|x_1 \rangle} = \frac {|\langle x_1|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_1|^2}{|N|^2}=|a_1|^2$$

$$P_{|x_2 \rangle} = \frac {|\langle x_2|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_2|^2}{|N|^2}=|a_2|^2$$

Entonces, como quería, independiente de$N$. Pero no es cierto que puedas multiplicar cada contribución individual a$|\alpha \rangle$, porque eso lo cambiará a un estado diferente. Para hacerlo simple, puede relacionar esto con vectores en$\mathbb{R}^3$, y puedes pensar que un estado es un vector, pero solo te importa su dirección, no su longitud. Entonces, en esta situación, para cualquier vector$\vec{v} = a \cdot \vec{x}+b \cdot \vec{y}$, es cierto que multiplicando$\vec{v}$por cualquier constante no lo cambiaría, pero multiplicar cualquiera de sus componentes de forma independiente seguramente cambiaría su estado.