Producción de piones en colisión protón-protón

Simplemente sumando todos los comentarios y proporcionando algunos cálculos más explícitos, tenemos la conservación de cuatro impulsos (que es la fusión de la conservación de la energía y la conservación del impulso), tenemos:

$$p^{\mu}_{1}+p_{2}^{\mu}=p_{1}'^{\mu}+p_{2}'^{\mu}+p_{\pi}^{\mu}$$

Tomando el producto interno de cada lado consigo mismo, obtenemos:

$$\left\langle p_{1}^{\mu}\middle|p_{1}^{\mu}\right\rangle+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^{\mu}\right\rangle+\left\langle p_{2}^{\mu}\middle|p_{2}^{\mu}\right\rangle=\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{1}'^{\mu}\right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle + \left\langle p_{2}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{2}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu} \right\rangle + \left\langle p_{\pi}^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle$$

Notamos eso$p^{\mu}p'_{\mu}=\left\langle p^{\mu} \middle| p'^{\mu}\right\rangle$es invariable en todos los marcos de referencia y que$p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}c^{2}$, por lo tanto podemos simplificar:

$$2m_{p}^{2}c^{2}+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^\mu \right\rangle = 4m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m_{\pi}^{2}c^{2}$$

Si consideramos que el segundo protón está inicialmente en reposo tenemos:$p_{1}^{\mu}=\left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)$y por lo tanto:

$$2m_{p}E=2m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m^{2}_{\pi}c^{2}$$

Reordenando obtenemos:

$$E=m_{p}c^{2}+2m_{\pi}c^{2}+\frac{m_{\pi}^{2}c^{2}}{2m_{p}}$$

Usando las constantes$m_{p}=938\text{ MeV}/c^{2}$y$m_{\pi}=139.6\text{ MeV}/c^{2}$, obtenemos:

$$E=1.228 \text{ GeV} \implies T = 289 \text{ MeV}$$

Entonces, si un protón con 289 MeV de energía cinética choca con un protón estacionario, existe la posibilidad de que se produzca un pión.