Curvatura del espacio-tiempo en los modelos cosmológicos de Friedman

Los modelos FLRW tienen una curvatura del espacio-tiempo distinta de cero, porque así es como la relatividad general describe la gravedad, y tienen gravedad en ellos. (El universo vacío de Milne es la excepción).

Los modelos FLRW pueden tener una curvatura espacial cero o distinta de cero.

No puedes describir la curvatura del espacio-tiempo con un solo número; necesita los 20 componentes completos del tensor de Riemann para una descripción completa. Lo mismo es cierto para el espacio 3D (aunque necesita menos números), es solo que la suposición de homogeneidad e isotropía nos permite usar un solo número.

tensor de Riemann

Sin embargo, gracias a la simplicidad del espacio-tiempo FRLW, podemos describir el tensor de Riemann con solo dos ecuaciones. Si hice todo bien, en una base ortonormal son

$$R_{0i0j} = -(\dot{H} + H^2)\delta_{ij} \quad\text{and}\quad R_{ijkl} = \left(H^2 + \frac{k}{a^2}\right) (\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta{jk}),$$

con índices latinos tomando valores en$\{1,2,3\}$y todos los demás componentes (con un número impar de índices cero) desapareciendo. A partir de esto, una cosa que puedes hacer es calcular los escalares de Ricci y Kretschmann,

$$R = R^{\mu\nu}{}_{\mu\nu} \quad\text{and}\quad K = R^{\mu\nu\alpha\beta}R_{\mu\nu\alpha\beta},$$

que son una especie de trazo y el cuadrado del tensor de Riemann, para tener una idea de lo que está pasando. Nuevamente, si no he cometido ningún error, son

$$R = 6\left( \dot{H} + 2H^2 + \frac{k}{a^2} \right) \quad\text{and}\quad K = 12 \left[\left(\dot{H} + H^2\right) + 8 \left(H^2 + \frac{k}{a^2}\right)\right].$$

Ecuaciones de Friedmann

Para relacionarlos con el contenido de materia del universo, usamos las ecuaciones de Friedmann

$$H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi}{3} \rho$$

$$\dot{H} + H^2 = -\frac{4\pi}{3} (\rho + 3p).$$

Usando estos, puedes ver que los componentes del tensor de Riemann son solo los lados de las ecuaciones, y los escalares resultan ser

$$R = 8\pi(\rho-3p) = 8\pi (1-3w)\rho$$

$$K = \frac{64\pi^2}{3} \left[(\rho+3p)^2 + 32\rho^2\right] = \frac{64\pi^2}{3} \left[(1+3w)^2 + 32\right] \rho^2,$$

donde también he incluido la ecuación de estado cosmológica estándar$p = w \rho$para un solo fluido.

Análisis

Entonces, ¿qué podemos obtener de esto? Puedes ver que si hay algún contenido de energía en el universo ($\rho \neq 0$), el tensor de Riemann es distinto de cero. Esto significa que el espacio-tiempo es plano (tensor de Riemann cero) si y solo si está vacío: el modelo de Milne es solo una sección del espacio-tiempo de Minkowski, y es (espacio-tiempo) plano incluso si no lo parece.

Para los tres fluidos más comunes considerados en cosmología, tenemos$w = 0$(materia oscura),$w = 1/3$(radiación) o$w = -1$(energía oscura). Puedes ver que en todos los casos los escalares son positivos, excepto por$w = 1/3$cuando el escalar de Ricci es cero. Pero tampoco debes prestar mucha atención al signo de este último, porque depende de la firma para la métrica; si hubiera usado$(+\ -\ -\ -)$señales,$R$habría salido con el signo contrario.

La cita de la revista Quanta

Así que si encontramos que$\text{empty} \iff \text{flat}$, ¿por qué la cita afirma que para densidades bajas el universo tiene una curvatura negativa? Eso es porque observamos que el universo se está expandiendo, por lo que nos vemos obligados a usar un valor distinto de cero.$H$en las ecuaciones, y esto "mueve el cero" de curvatura, por así decirlo. Un universo vacío en realidad no se expandiría y sería plano, pero esto contradice las observaciones.