Curvatura del espacio cerca de un agujero negro

Leí en Wikipedia que "La topología del horizonte de eventos de un agujero negro en equilibrio siempre es esférica".

Esta respuesta aclara lo que significa esa declaración. Significa que si comenzamos con cualquier agujero negro en el espacio-tiempo 4d, entonces consideramos el horizonte como una variedad 3d en sí misma, esta variedad tiene la topología$S^2\times \mathbb{R}$, dónde$S^2$es una esfera doble (la superficie de una pelota) y$\mathbb{R}$es una linea Es una afirmación sobre topología, no sobre geometría. En particular, la declaración no dice (casi) nada sobre geodésicas (o líneas paralelas).

Por cierto, la declaración es específica para los agujeros negros en el espacio-tiempo 4d. En el espacio-tiempo 5d, un agujero negro puede tener un horizonte de eventos con una topología no esférica.

Ejemplo

Considere la métrica de Schwarzschild en el espacio-tiempo 4d. El elemento de línea para las líneas de mundo espaciales es

$$ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1}$$ dónde$A(r)$llega a cero en el horizonte. la notación$d\Omega^2$es una abreviatura de la parte de coordenadas esféricas: sin el factor de$A$, la combinación${dr^2}+r^2d\Omega^2$sería el elemento de línea del espacio euclidiano 3d plano en coordenadas esféricas. Cualquier valor fijo de$r$define una subvariedad 3d del espacio-tiempo 4d. Si$A(r)\neq 0$, la métrica inducida en esta variedad es $$ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2}$$ donde ahora$r$y$A(r)$son constantes. Esta es la métrica estándar en$S^2\times\mathbb{R}$, donde el factor$\mathbb{R}$cuenta para la coordenada extra$t$. En el horizonte tenemos$A(r)=0$, y la ecuación (1) no tiene sentido allí. La variedad suave todavía tiene sentido allí, pero los componentes de la métrica no. Podemos abordar esto de dos maneras:

• Llevar$r$estar arbitrariamente cerca de este valor. Eso es lo suficientemente bueno para ver cuál es la topología del$A(r)=0$múltiple será. La ecuación (1) dice que el$dt^2$desaparece en el horizonte, lo que corresponde a que el horizonte es una hipersuperficie nula : desplazamientos en el$t$-dirección son similares a la luz (tienen longitud cero).

• Aún mejor, podemos usar un sistema de coordenadas diferente para que la métrica 4d esté bien definida en el horizonte. En coordenadas de Kerr-Schild , la métrica de Schwarzschild tiene la forma

  $$ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3}$$ dónde$V(r)$está bien definido en todas partes excepto en$r=0$. El horizonte corresponde a$V(r)=1$, donde el$dt^2$término desaparece. Configuración$r$igual a este valor especial da la métrica inducida $$ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4}$$ Esta es la métrica estándar en$S^2$, pero la topología es en realidad$S^2\times\mathbb{R}$, donde el$\mathbb{R}$factor da cuenta de la$t$-coordinar. No hay$dt^2$término en (4) porque el horizonte es una hipersuperficie nula: los desplazamientos en el$t$-dirección tienen longitud cero. Esta es la misma conclusión a la que llegamos antes, pero ahora la hemos llegado más directamente porque la métrica (3) está bien definida en el horizonte.

No creo que sea correcto describir el espacio-tiempo cerca de un agujero negro como "esférico". Por un lado, la curvatura del espacio cambia según lo cerca que estés del agujero negro. Para una esfera, la curvatura es una constante y no varía con la ubicación. Además, necesita más de un solo número real para especificar la curvatura del espacio-tiempo con dimensiones superiores a 2. (Esto se debe a que puede tener un espacio donde los ángulos de un triángulo orientado en una dirección suman menos de 180 grados , pero los ángulos de un triángulo orientado en una dirección diferente suman más de 180 grados). Además, el campo gravitatorio del agujero negro depende en gran parte del hecho de que el espacio-tiempo es curvo, no solo de la curvatura espacial.

Probablemente aún podría clasificar la curvatura del espacio-tiempo en función de los signos de varios componentes del tensor de curvatura, pero la clasificación sería más complicada que esférica, plana e hiperbólica.