¿Cuánta distancia adicional a un horizonte de eventos?

Sospecho que no está haciendo la pregunta que realmente le interesa, porque la respuesta a su pregunta es realmente aburrida. Si saltas a un agujero negro, verás que el horizonte de eventos se retira ante ti y nunca lo cruzarás. La distancia que ha recorrido es una cantidad ambigua ya que, por supuesto, en su marco está estacionario y no ha recorrido ninguna distancia. El tiempo que tardas en pasar la distancia.$r=r_s$luego golpear la singularidad es finita, y para los agujeros negros de masa estelar muy corto.

Una pregunta mucho más interesante es si flotas fuera del horizonte y bajas una cinta métrica, ¿cuánto tiempo tendría que pasar para alcanzar el horizonte, es decir, qué obtienes al integrar$dr$en dirección radial hacia el horizonte de sucesos? La métrica de Schwarzschild es:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)} + r^2 d\Omega^2$$

Supongamos que flotamos a una distancia$r_1$de la singularidad y baje una cinta métrica para medir la distancia a algún punto a una distancia radial de$r_2$. Porque$dt$y$d\Omega$son constantes, la ecuación para el elemento de línea se simplifica a:

$$ds = \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}}$$

Para obtener la longitud de la cinta solo necesitamos integrar esta expresión de$r_1$a$r_2$:

$$\begin{align} s &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}} \\ &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{r^{1/2}dr}{\left(r-r_s\right)^{1/2}} \end{align}$$

Para integrar esto hacemos trampa y buscamos la respuesta en un libro de GR , siendo el resultado:

$$s = \left[ z \sqrt{z ^2 - r_s} + r_s \ln \left( z + \sqrt{z ^2 - r_s} \right) \right]_{z_2}^{z_1}$$

donde hemos usado la sustitución$r = z^2$para hacer manejable la integral.

Para hacer esto concreto, tomemos un agujero negro con la masa del Sol, entonces$r_s$= 2954m, y comenzaremos desde 5km, es decir$r_1 = 5000$. Grafiquemos la longitud de la cinta en función de$r_2$:

La línea magenta es el resultado newtoniano, es decir, si el espacio fuera plano, y la línea azul es lo que realmente medimos. La distancia de la cinta métrica desde $r = 5 km hasta el horizonte de sucesos es de aproximadamente 4780 m en comparación con el cálculo newtoniano de 2046 m.

Entonces, el efecto de la curvatura es hacer que la distancia medida radialmente sea mayor que$r_1 - r_2$. Sin embargo, debo enfatizar que esto no es lo que medirías si te arrojara al agujero negro. Esta es la distancia medida por un observador que flota lejos del horizonte de eventos.

La integral que dio John Rennie se puede mejorar con el factor gamma, suponiendo que el movimiento del observador está en el$\rm r$dirección, y la gran$\rm R$es la distancia física dependiente del observador:

$${\rm \Delta R= \int_{r_2}^{r_1}}=\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} \ \rm dr$$

pero debe verificar qué factor gamma usar para qué coordenadas. Si estás cayendo en el agujero negro desde el reposo en el infinito o con la velocidad de escape negativa

$$\rm v=-v_{esc}=-c \sqrt{r_s/r}$$

en las coordenadas clásicas de Schwarzschild/Droste tenemos

$$\sqrt{g_{\rm r r}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

y el factor gamma para el observador que cae también es

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\rm v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

por lo que la expansión radial y la contracción de la longitud se cancelan en su marco:

$$\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} = 1$$

por eso en las coordenadas de Gullstrand/Painlevé donde se encuentra el$\rm -v_{esc}$se absorbe en el$g_{\rm t r}$y la velocidad local$\rm v$no es relativo a los observadores de referencia estacionarios sino de caída libre (las llamadas gotas de lluvia), y$\rm v=0$en que coordenadas es igual$\rm v=-v_{esc}$en las otras coordenadas, obtienes

$$\sqrt{\bar g_{\rm r r}} = 1$$

y los componentes espaciales de la métrica covariante son euclidianas, por lo que

Hamilton & Lisle escribieron: "En el modelo del río, el espacio mismo fluye como un río a través de un fondo plano".

y la distancia es simplemente$\rm r_2-r_1$. Si no está cayendo con la velocidad de escape, el factor local no se cancela para$1$y la distancia es diferente de$\rm r_2-r_1$. Si eres más lento que la velocidad de escape, es mayor, y si eres más rápido, es menor.

Detrás del horizonte es al revés si tomas$\rm v$(en relación con el propio agujero negro) como una medida de lo rápido que eres, pero ten en cuenta que$\rm v$y$\rm dr/d\tau$generalmente son cosas diferentes. Cuanto más cerca de$\rm c$su$\rm v$es (desde arriba o desde abajo), más contracción obtienes. Dentro del agujero negro donde tienes que tener$\rm v>c$, más pequeño$\rm v$(pero aún más grande que$\rm c$) es igual a mayor$\rm dr/d\tau$que un$\rm v$mucho más grande que$\rm c$y$\rm dr/d\tau \to \infty$es igual$\rm v \to c$fuera y dentro del horizonte.

En la relatividad especial (donde la velocidad de escape siempre es$0$ya que no hay gravedad) la distancia para un observador en movimiento también sería más corta que$\rm r_2-r_1$, ya que cuando comienzas a moverte hacia tu objetivo, la distancia se reduce por el factor gamma de tu velocidad.