Cuerda giratoria con anillo

Question

Cuerda giratoria con anillo

Física
fuerza centrífuga
fuerza centrípeta
dinámica-rotacional

A B C

Tengo este sistema ideal. Hay una barra con masa despreciable y un anillo (un punto) con masa $m$ . La barra gira con velocidad angular $\omega$ .

Si veo ese sistema desde el sistema de referencia no inercial, obtengo una fuerza centrífuga y luego todo está claro, el anillo se aleja del eje de rotación.

Ahora voy a ver este sistema desde un sistema de referencia inercial.

No entiendo cómo puedo deducir gracias a esta vista que la masa se va larga de la barra.

En un caso lineal, entiendo muy bien el concepto de fuerza ficticia, por lo que puedo cambiar fácilmente el sistema no inercial con el sistema inercial. En el caso de rotación, no puedo hacer esto; mi cerebro solo ve casos no inerciales con fuerza ficticia. A mi modo de ver, como se posicionan las fuerzas reales (sistema inercial), lo que pasa en su lugar y lo que mi experiencia me dice que no debería pasar. ¡Obviamente sé que estoy equivocado!

Una simple explicación intuitiva también estaría bien, agradezco a todos de antemano.

Respuestas (2)

Cuerda giratoria con anillo

intercepción · Answer 1

intercepción

Su error en el marco inercial es ver la longitud a lo largo de la barra como una coordenada, $q$ , a la que simplemente podemos aplicar $F_q = m \ddot q$ . Esto no es válido, ya que la dirección $\hat q$ no es constante!

A B C

Ok, pero en la dirección q mi anillo se mueve y no entiendo por qué

intercepción

Primero que nada, no deberías dibujar

m ω^{2} r

$m\omega^2 r$ como una fuerza en el caso de inercia, eso es incorrecto. lo que tienes es

R_{n}

$R_n$ y

m g

$mg$ . Puede determinar que la fuerza neta en la dirección vertical es distinta de cero. (Incluso cuando la vara gira, la dirección vertical es constante en el tiempo). Con base en las restricciones del anillo y la vara, puedes ver que debe moverse a lo largo de la vara para tener una aceleración vertical distinta de cero.

A B C

Seguro

m ω^{2} r

$m\omega^2r$ como la fuerza está mal. Sin embargo, incluso tomando una situación más simple: la misma situación que la anterior, pero con el

α = 90 °

$\alpha = 90 °$ ángulo, tendría la misma situación pero con el poste horizontal. Entonces

m g = R

$mg = R$ . Supongamos que no hay fricción. ¿Cómo es posible que mi objeto (no tiene estructura comparable a un punto), salga volando de la barra?

intercepción

Ah, tienes razón al señalar la falla en mi razonamiento. La respuesta correcta es entonces que la respuesta no es obvia aparte de las matemáticas, cuando se trabaja en un sistema de coordenadas inercial. necesitas calcular

\ddot{r}

$\ddot r$ , que implica diferenciar

\hat{r}

$\hat r$ y

\hat{θ}

$\hat \theta$ con respecto al tiempo.

A B C

Estamos en el punto de partida. No se que hacer para solucionar mi problema.

Ertxiem - reincorporar a Mónica · Answer 2

Mi intuición sobre el problema es la siguiente:

Considere una barra horizontal giratoria. Si no hay fricción a lo largo de la barra, y dado que el anillo no tiene movimiento vertical, la única fuerza horizontal aplicada por la barra al anillo tiene que ser perpendicular a la barra en la dirección de rotación. Esta fuerza tiene que existir, ya que el anillo no se mueve con un vector de velocidad constante.

Dado que en este caso no hay fuerza hacia adentro a lo largo del eje de la barra, la distancia al centro de rotación aumenta.

Si la barra está inclinada, debemos considerar el equilibrio entre el efecto de la fuerza que la barra está aplicando al anillo (que aumenta la distancia al origen) y la gravedad proyectada a lo largo del eje de la barra (que tira del anillo hacia el origen). Si la velocidad angular y la distancia al centro de rotación son lo suficientemente grandes como para superar el efecto de la gravedad, el anillo se deslizará hacia afuera; de lo contrario, se deslizará hacia adentro.

Con más detalle, supongamos que la barra comienza en el origen $(0,0,0)$ . En coordenadas cartesianas, la posición $\vec{r}$ del anillo a la vez $t$ cuando es a distancia $d(t)$ desde el origen, está dada por $(x, y, z)$ , con:

\begin{aligned} X (t) & = d (t) pecado α porque (ω t + ϕ) \\ y (t) & = d (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) \\ z (t) & = d (t) porque α \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ y(t) & = d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ z(t) & = d(t) \cos \alpha \end{align}$

La velocidad $\dot{\vec{r}} = \vec{v}$ es:

\begin{aligned} \dot{X} (t) & = \dot{d} (t) pecado α porque (ω t + ϕ) - ω d (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) \\ \dot{y} (t) & = \dot{d} (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) + ω d (t) pecado α porque (ω t + ϕ) \\ \dot{z} (t) & = \dot{d} (t) porque α \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x}(t) & = \dot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - \omega \ d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ \dot{y}(t) & = \dot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) + \omega \ d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ \dot{z}(t) & = \dot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

y la aceleracion $\ddot{\vec{r}} = \dot{\vec{v}} = \vec{a}$ es:

\begin{aligned} \ddot{X} (t) & = \ddot{d} (t) pecado α porque (ω t + ϕ) - 2 ω \dot{d} (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) - ω^{2} d (t) pecado α porque (ω t + ϕ) \\ \ddot{y} (t) & = \ddot{d} (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) + 2 ω \dot{d} (t) pecado α porque (ω t + ϕ) - ω^{2} d (t) pecado α pecado (ω t + ϕ) \\ \ddot{z} (t) & = \ddot{d} (t) porque α \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ \ddot{y}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) + 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ \ddot{z}(t) & = \ddot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

Para simplificar el análisis, supongamos que $t$ es tal que $\cos(\omega t + \phi) = 1$ y por lo tanto, $\sin(\omega t + \phi) = 0$ . Entonces la aceleración sería:

\begin{aligned} \ddot{X} (t) & = \ddot{d} (t) pecado α - ω^{2} d (t) pecado α \\ \ddot{y} (t) & = 2 ω \dot{d} (t) pecado α \\ \ddot{z} (t) & = \ddot{d} (t) porque α \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha\\ \ddot{y}(t) & = 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha\\ \ddot{z}(t) & = \ddot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

Simplificando una vez más, comencemos con el caso donde la barra es horizontal. En este caso, $\sin \alpha = 1$ y $\cos \alpha = 0$ y la aceleración se convierte en:

\begin{aligned} \ddot{X} (t) & = \ddot{d} (t) - ω^{2} d (t) \\ \ddot{y} (t) & = 2 ω \dot{d} (t) \\ \ddot{z} (t) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t) \\ \ddot{y}(t) & = 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \\ \ddot{z}(t) & = 0 \end{align}$

Si pensamos en el sistema en este caso, se ignorará la gravedad, porque será anulada por la reacción vertical de la barra. Con respecto a la fuerza horizontal que la barra está aplicando al anillo, podemos imaginar que es a lo largo del $y$ eje y es cero a lo largo del $x$ eje. es cero a lo largo de $x$ eje porque asumo que no hay fricción en esta dirección. Entonces podemos obtener $d(t)$ resolviendo la ecuación de aceleración a lo largo de la $x$ eje:

0 = \ddot{d} (t) - ω^{2} d (t)

$0 = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t)$ Por lo tanto obtenemos :

d (t) = k_{1} {mi}^{ω t} + k_{2} {mi}^{- ω t}

$d(t) = k_1 e^{\omega t} + k_2 e^{-\omega t}$ para algunas constantes

k_{1}

$k_1$ y

k_{2}

$k_2$ .

Si volvemos a la barra inclinada, podemos considerar un sistema de coordenadas inclinado que, en el momento $t$ tiene el $x$ eje alineado con la barra. En este caso, tenemos que considerar la componente de la gravedad a lo largo de este $x$ eje y la aceleración a lo largo de este eje es:

- gramo porque α = \ddot{d} (t) - ω^{2} d (t)

$- g \cos \alpha = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t)$ Lo que resulta en:

d (t) = k_{3} {mi}^{ω t} + k_{4} {mi}^{- ω t} + \frac{gramo porque α}{ω^{2}}

$d(t) = k_3 e^{\omega t} + k_4 e^{-\omega t} + \frac{g \cos \alpha}{\omega ^ 2}$ para algunas constantes

k_{3}

$k_3$ y

k_{4}

$k_4$ .

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A B C

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intercepción

A B C

intercepción

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intercepción

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