¿Cuál es la diferencia entre las energías libres termodinámicas y la energía libre de Landau?

La energía libre de Landau, también llamada hamiltoniano de Landau-Ginzburg, se trata de manera ad hoc y bastante confusa en muchos libros de texto. Pero desde el punto de vista moderno, tiene una interpretación simple como un hamiltoniano efectivo que se logra integrando nuestros grados de libertad.

Supongamos que tenemos un sistema de espín, como un imán de Ising. Podemos describir el estado del sistema por un campo de magnetización$\phi(x)$, teniendo en cuenta que este campo no tiene sentido si examinamos escalas de longitud más pequeñas que el espaciado de la red$a$. Podemos escribir una suma sobre todos los estados de espín mediante una integral sobre configuraciones de campo, siempre que la integral se corte en la escala de distancia$a$.

Si el hamiltoniano es$H[\phi]$, entonces la energía libre termodinámica$F$obedece

$$Z = e^{-\beta F} = \int_{\Delta x\, >\, a} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H[\phi]}$$ que es solo una reformulación de la identidad estándar$F = - k_B T \log Z$. En la visión wilsoniana, la energía libre termodinámica se adquiere integrando todos los grados de libertad microscópicos. El resultado solo depende de cantidades macroscópicas como la temperatura, la presión y el campo externo. Esto es útil porque el objetivo de la termodinámica es ignorar los detalles microscópicos y centrarse en cantidades macroscópicas que son fáciles de medir. Por ejemplo, usando solo la función$F$, podemos determinar la magnetización de equilibrio minimizándola.

Ahora, la energía libre de Landau$H_L$satisface

$$Z = \int_{\Delta x \, > \, b} \mathcal{D}\phi \, e^{-\beta H_L[\phi]}$$ dónde$b$es una escala de distancia mesoscópica, más grande que$a$pero aún mucho más pequeño que una longitud macroscópica. En el punto de vista wilsoniano, la energía libre de Landau es el hamiltoniano efectivo adquirido al integrar los grados de libertad en escalas de longitud.$a < x < b$. El punto de la energía libre de Landau es que representa un compromiso entre el completamente microscópico$H$, que tiene demasiados detalles para ser útil, y el completamente macroscópico$F$, que no nos dice nada sobre, por ejemplo, la dependencia de la posición. Como$H$,$H_L$es un funcional, pero es un funcional de "menos variables".

Lo anterior explica por qué$H_L$puede llamarse hamiltoniano, pero ¿por qué también se le llama energía libre? Por lo general, el punto de partida para aplicar la teoría de Landau es la aproximación del punto de silla, que establece que las configuraciones de campo de equilibrio típicas minimizan$H_L$. Ya que estamos minimizando$H_L$, la tratamos como si fuera una energía libre, por lo que a veces se la llama energía libre de Landau.

Pero, ¿por qué es esto válido? Definitivamente no puede obtener la respuesta correcta a ninguna pregunta termodinámica minimizando$H$, porque no tiene en cuenta los efectos térmicos; en su lugar tienes que minimizar$F$. minimizando$H_L$da la respuesta correcta precisamente cuando los efectos térmicos son despreciables en escalas de distancia mayores que $b$. Esto es cierto cuando$b$es mucho mayor que la longitud de correlación del sistema$\xi$, razón por la cual la teoría de Landau hace tan buen trabajo, y generalmente no es cierta en un punto crítico donde$\xi$diverge, razón por la cual la teoría de Landau no logra describir las transiciones de fase continuas.