¿Cuánto tiempo tardaría en caer al suelo un cuerpo rígido en posición vertical?

Para completar las otras respuestas, aquí está el Lagrangiano del sistema. Usando coordenadas polares centradas en la base de la barra,

$$\mathcal{L}=T-V$$

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}I\dot{\theta^2}-\frac{1}{2}mgh\cos{\theta}$$

Utilizando el valor conocido de$I$,$\frac{mh^2}{3}$,

$$\mathcal{L}=\frac{1}{6}mh^2\dot{\theta^2}-\frac{1}{2}mgh\cos{\theta}$$

Usando Euler-Lagrange, nos da la ecuación de movimiento:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{1}{3}mh^2\dot{\theta})=\frac{1}{2}mgh\sin{\theta}$$

$$\ddot{\theta}=\frac{3}{2}\frac{g}{h}\sin{\theta}$$

Un árbol que cae es básicamente un péndulo invertido.

El período de un péndulo de longitud$h$para pequeñas oscilaciones es$2\pi \sqrt{h/g}$, con$g$la aceleración de la gravedad, aproximadamente$10\ m/s$. Para un péndulo invertido cerca de la parte superior de su arco, no hay período, pero la cantidad$\sqrt{h/g}$representa una escala de tiempo característica para este sistema. El árbol tardará algunos de estos tiempos característicos en caer.$h$para un árbol es una "altura efectiva" y depende de la distribución de masa del árbol. Si toda la masa está en la parte superior,$h$es la altura del árbol. Si el árbol es uniforme,$h$es$2/3$la verdadera altura.

Para un árbol con$h = 40\ m$, el tiempo característico es$2\ s$. Para ángulos pequeños, el ángulo que forma el árbol con la vertical se multiplicará por$e$en este momento. Comencemos el árbol en$1^{\circ}$por lo que necesita multiplicar su ángulo por$90$caer.$\ln(90) = 4.5$por lo que el árbol toma alrededor$9\ s$caer.

Esto es matemáticamente una subestimación porque el tiempo característico aumenta ligeramente a medida que el árbol cae, pero no demasiado. Dale una buena ronda$10\ s$y obtienes algo que coincide con el primer video de YouTube que encontré.

La respuesta depende de las condiciones iniciales (ángulo inicial y velocidad angular inicial). Si comienza vertical, entonces, sin una velocidad angular inicial, tardaría una eternidad en caer.

También tenga en cuenta que a medida que aumenta la velocidad de rotación, la barra puede levantarse del punto de pivote debido a las fuerzas centífugas. Además, una vez que se supera la fricción, el contacto se deslizará. Así que hay tres dominios para la solución.

1. El contacto es fijo, es necesario calcular las fuerzas
2. El contacto es deslizante, es necesario calcular la fuerza vertical
3. Ya no está en contacto, no se aplican fuerzas (aparte de la gravedad).

Puedes tratar de encontrar las soluciones a partir de las siguientes ecuaciones:

---

ecuaciones de movimiento

$$F=m\ddot{x}$$ $$N=m(\ddot{y}+g)$$ $$\frac{H}{2}\left(F\,\cos\theta+N\,\sin\theta\right)=I_{G}\ddot{\theta}$$

dónde:$F$fuerza de fricción (horizontal),$N$fuerza de contacto normal,$m$masa de la barra, ($\ddot{x}$,$\ddot{y}$) aceleración del centro de gravedad,$H$la altura total de la barra,$\theta$ángulo de la barra desde la vertical (+=CCW),$I_G$momento de inercia de la masa de la barra en el cg

---

Velocidad del punto de contacto

$$vx_{A}=\dot{x}+\frac{H}{2}\left(\dot{\theta}\cos\theta\right)$$ $$vy_{A}=\dot{y}+\frac{H}{2}\left(\dot{\theta}\sin\theta\right)$$

---

Aceleración del punto de contacto

$$ax_{A}=\ddot{x}+\frac{H}{2}\left(\ddot{\theta}\cos\theta-\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)$$

$$ay_{A}=\ddot{y}+\frac{H}{2}\left(\ddot{\theta}\sin\theta+\dot{\theta}^{2}\cos\theta\right)$$

---

Condición de fricción

$$F\leq\mu N$$

Encontrará la ecuación de movimiento para el caso 1siendo

$$\ddot{\theta}=\frac{g\sin\theta-\frac{H}{2}\dot{\theta}\cos2\theta}{\frac{I_{G}}{mH/2}+\frac{H}{2}\sin2\theta}$$

Encontrar la condición en la que se desliza en el caso 2y luego en el caso 3implica monitorear las fuerzas$F$y$N$y comprobando cuando$F>\mu N$y cuando$N<0$.

Estoy de acuerdo con Peter Mortensen y Mark Eicheniaub.

La ecuación diferencial es

Ӫ=(g/h)sin Ө

Para ángulos pequeños debe ser

Ӫ=(g/h) Ө

La solución para esto es

t=√(h/g) *ln(Ө/ Өo)

pero solo para ángulos pequeños como 1°.

Podemos calcular paso por paso (1°) 90 veces, implica una suma ln:

( Ψo+3)) …+ ln((Ψo +89)/ (Ψo+88))

es

ln( ( Өo +1)/ Өo) ( Өo +2 )/ ( Өo+1 ) ( Өo +3 )/ ( Өo+2 ) ( Өo +4 )/ ( Өo+3 ) …( Өo +89 )/ (Ψo+88) )

=ln(90°/1°)

=4.5

Este valor debe multiplicarse por 2 seg = 9 seg. (para 40 mts. de altura)