¿Cuánto movimiento en los fluidos es movimiento aleatorio?

Cuando tratamos de comprender el predominio relativo de la difusión frente a la advección en un sistema hidrodinámico, generalmente comparamos las escalas de longitud características asociadas con cada proceso y definimos su relación como un grupo adimensional a menudo denominado número de Peclét . Esto implica los siguientes pasos:

1. Determine cuál es el sistema que desea analizar . ¿Está interesado en el movimiento de una sola partícula o de una especie química en un fluido? ¿Está interesado en que el movimiento ocurra en una dimensión o en tres? ¿Está mirando los desplazamientos que ocurren durante un intervalo de tiempo fijo o los desplazamientos que ocurrieron dentro de una longitud/volumen fijo?
2. Estimar los desplazamientos difusivos/advectivos . La difusión es casi siempre el resultado del movimiento browniano, lo que significa que el desplazamiento de la raíz cuadrada media que ocurre a través de la difusión es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido.$t$multiplicado por una constante difusiva$D$(con algún factor numérico dependiendo de la dimensión del problema). El desplazamiento advectivo es casi siempre el producto de la velocidad del fluido a granel$u$y el tiempo transcurrido$t$; esto debe modificarse si la velocidad no es uniforme o cambia con el tiempo.
3. Toma la razón y simplifica. Usando las expresiones anteriores, divida el desplazamiento advectivo por el desplazamiento difusivo y simplifique la expresión⁠; es probable que algunos términos se simplifiquen o cancelen. Esta relación (el número de Peclét) ahora les indica qué parámetros en su sistema físico influyen en el equilibrio del desplazamiento advectivo/difusivo y cuáles no.

Como ejemplo, considere una molécula que es parte de un fluido que fluye de manera unidireccional y constante en 3-D⁠; dicha molécula experimenta tanto un movimiento advectivo masivo como un movimiento browniano aleatorio. Si quisiéramos comparar el desplazamiento difusivo y advectivo total tomado por esa molécula durante un intervalo de tiempo específico, encontraríamos que el desplazamiento difusivo RMS en 3D es$d_{diff} = \sqrt{6Dt}$, dónde$D$es la constante de difusividad asociada con la molécula. El desplazamiento advectivo sería simplemente$d_{adv} = ut$dónde$u$es la velocidad del fluido a granel.

Por lo tanto, al tomar la razón de cada uno, encontramos

La definición más común del número de Peclét es para movimiento 1-D en un intervalo de longitud fija, en cuyo caso el$6$arriba se convierte en un$2$y el$t$generalmente se reemplaza con$\frac{L}{u}$, dónde$L$es la longitud del intervalo.

Pero, ¿cuánto "movimiento" es realmente este "movimiento aleatorio"?

Entonces, básicamente, la velocidad promedio de una molécula es la velocidad del sonido. Eso no debería sorprender. Pero, por supuesto, sigue tropezando con las cosas. Así que eso es un paseo aleatorio .

Si se asume una caminata aleatoria, entonces la distancia recorrida en el tiempo es d=(6Dt)^1/2, donde D es el coeficiente de difusión, que para el oxígeno en STP es ~0.18cm^2/s.

Entonces, resolviendo, eso es alrededor de 4 segundos por cm.