¿Cuánto más rápido correría un reloj sin gravedad?

Ninguno de los dos efectos puede calcularse realmente de manera significativa.

La dilatación cinemática del tiempo describe la dilatación del tiempo de un marco de referencia en relación con otro. No hay un marco de referencia preferido, por lo que no hay forma de decir qué significaría eliminar el efecto de la dilatación cinemática del tiempo.

La dilatación del tiempo gravitacional es un concepto que tiene sentido en un espacio-tiempo estático, y en ese caso la dilatación del tiempo entre dos puntos diferentes se da en términos de la diferencia$\Delta\Phi$en potencial gravitacional como$e^{\Delta\Phi}$. Aquí nuevamente tienes el problema de con qué comparar. ¿Quieres comparar con el espacio interplanetario? ¿Espacio interestelar? ¿Espacio fuera de nuestro cúmulo local de galaxias? A medida que continúa este proceso, alcanza distancias cosmológicas, momento en el que se encuentra con el problema de que los espaciotiempos cosmológicos no son estáticos, y todo pierde sentido.

De esto se trata la relatividad. No hay mejor medida de tiempo. Todo es relativo.

El hecho de que un reloj vaya más lento debido al movimiento es un efecto de la relatividad especial donde la dilatación del tiempo de un marco en movimiento se convierte en:

$\Delta t' = \gamma\Delta t$, dónde$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\geq1$.

Entonces, un paso de tiempo en un marco inmóvil ($\Delta t$) es menor que uno en un cuadro en movimiento.

Para obtener el efecto gravitatorio, debemos recurrir a la relatividad general, esto produce la ecuación de campo de Einstein:$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$(donde dejé fuera la constante cosmológica por simplicidad). ¡Esta ecuación es básicamente la ecuación para la métrica del espacio-tiempo y en general es bastante difícil de resolver!

Si el espacio-tiempo es esférico (por ejemplo, una masa puntual/esfera), la solución se convierte en la métrica de Schwarzschild:

$ds^2 = \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 - r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$.

Si consideramos puramente la evolución del tiempo en un marco de coordenadas inmóvil, obtenemos:$ds^2 = \left(1-\frac{2Gm}{c^2r}\right)dt^2$.

O para decirlo de la misma manera que el anterior, si$\Delta t$es el tiempo-evolución en un tiempo-espacio plano (en$r\rightarrow\infty$) y$\Delta t'$es la evolución temporal con la masa entonces obtenemos la relación:$\Delta t = \left(1-\frac{Gm}{c^2r}\right)\Delta t'$.

Si tuviera que hacer una primera estimación, intentaría simplemente agregar las desviaciones que darían algún tipo de aproximación de orden cero.