Configuración de un sistema de coordenadas locales en el espacio-tiempo usando solo un reloj y haces de luz

El método de radar es un enfoque general que funciona para observadores no inerciales y espacio-tiempo curvo.

El tiempo de su reloj da dos coordenadas de un evento en el que el evento se cruza con su cono de luz futuro y pasado, llamado tiempo retrasado y tiempo avanzado, ($\tau^+,\tau^-$, respectivamente). O use una combinación diagonal de los mismos:$\tau^\star = \frac{\tau^+ + \tau^-}{2}$, llamado tiempo de radar, y$\rho = c\frac{\tau^+ - \tau^-}{2}$, llamada distancia de radar.

Esta combinación diagonal tiene la propiedad de que, en el caso de un observador no acelerado en el espacio-tiempo plano,$\tau^\star$y$\rho$son iguales a las medidas habituales (el negocio de la "rejilla infinita de reglas y relojes").

Los ángulos entrantes pueden dar otras dos coordenadas ($\Omega^+$) de la geodésica nula desde el evento hasta usted. Este es el sistema de coordenadas de recepción o retardado. El sistema dual, la transmisión o sistema de coordenadas avanzado, utilizaría los ángulos de salida ($\Omega^-$) de la geodésica nula desde usted hasta el evento.

Para un observador no acelerado que no gira en el espacio-tiempo plano, los dos pares de ángulos son iguales entre sí y a los ángulos de coordenadas polares habituales.

En el espacio-tiempo plano, esto asignará una coordenada única a cada evento alcanzable, es decir, cada evento en el diamante causal del observador. En el espacio-tiempo curvo, asignará al menos una coordenada a cada evento alcanzable, sin embargo, puede haber duplicados. Uno puede restringirse al límite del pasado y el futuro causales, como se describe en la respuesta que vinculé anteriormente. Entonces, bajo ciertas suposiciones de causalidad, cada evento alcanzable obtiene un único$\tau^\star$y$\rho$. Las superficies de constante$\tau^\star$y$\rho$son entonces superficies bidimensionales globalmente espaciales, pero no siempre topológicamente$\mathcal{S}^2$, más bien, serán algún subcociente de$\mathcal{S}^2$. Es decir, para un dado$\tau^\star$y$\rho$algunos pares de ángulos$\Omega^+$no será válido (correspondiente a partes del cono de luz que se han "retrasado"), y algunos eventos en el límite de validez tendrán más de un par de ángulos.

( Nota : consulte el anexo en la parte inferior para ver las referencias en papel relevantes para la pregunta).

La cuestión de cómo sincronizar los relojes fue abordada por primera vez por el propio Einstein en su famoso artículo sobre relatividad especial, y ocupa gran parte de la discusión en ese artículo antes de que se dedicara al electromagnetismo.

Lo que sugirió Einstein fue esto: ambos observadores tienen relojes construidos de manera idéntica y, a partir de ahí, suponen que los relojes marcan la misma hora. Pero, ¿cómo se aseguran de tener el mismo tiempo, no solo la misma tasa de ticks?

Einstein sugirió lo que ahora se llamaría un apretón de manos: A envía una marca de tiempo a B a través de un haz de luz, y B inmediatamente envía su propia marca de tiempo a A. Cuando A recibe ese "apretón de manos" de B, sabe cuánto tiempo tardó en obtener la información y qué tiempo tenía B (por simetría) a la mitad de ese período de tiempo.

Esa es información suficiente para que A actualice su reloj al de B, más la mitad del retraso en la respuesta para determinar cuánto tardó en llegar la marca de tiempo de B.

Hay otros problemas más sutiles, como si B podría estar moviéndose en relación con A, pero también se pueden resolver utilizando solo haces de luz asegurándose de que no haya un cambio de frecuencia (efecto Doppler) al ver el haz de retorno.

Este procedimiento no solo es bastante sencillo, sino que también es útil . Por ejemplo, no estaría leyendo este mensaje si la compañía eléctrica que utiliza no utilizara el mismo tipo de procedimiento de sincronización para garantizar que las partes distantes de una red eléctrica estén todas sincronizadas con mucha precisión entre sí. Si no hicieran eso, los generadores se desfasarían y empezarían a destruirse unos a otros. Por lo tanto, la sincronización de tiempo significativa no es un concepto abstracto, sino algo real y muy necesario para cualquier cosa en red. El punto importante para lograr este tipo de sincronización en el tiempo es que las distintas partes no deben moverse entre sí. Ahí es donde entra en juego la relatividad especial, no en la sincronización en sí.

Hay otra técnica que mencionaste, que es esta: si mueves un reloj muy lentamente de un lugar a otro, los efectos relativistas pueden hacerse muy, muy pequeños, tan pequeños que realmente siempre puedes hacerlos pequeños. lo suficiente como para ignorarlos. No es tan práctico como la sincronización de Einstein, pero a veces resulta útil.

Ahora, en cuanto a la división de los gobernantes, sí, no puedes ser infinitamente pequeño. Pero en realidad puedes hacerlo muy bien simplemente creando redes de relojes muy pequeños. Muchas redes informáticas son en realidad ejemplos bastante decentes de eso. Sin embargo, mi imagen favorita es la de toda una región del espacio llena de diminutos relojes, digamos de un milímetro de ancho cada uno, con cada reloj sincronizándose constantemente con sus vecinos más cercanos.

Como señaló el propio Einstein, la sincronización es una operación transitiva, por lo que tener todos esos relojes hablando entre sí de esa manera eventualmente conduce a una región completa del espacio llena de relojes similares a partículas significativamente sincronizados. Agregue un poco de registro de datos, y también puede usar esa red de relojes similares a partículas para mantener esa región del espacio altamente sincronizada y capaz de recopilar datos sobre sí mismo y otros objetos.

Aún más interesante, si otro objeto navega a través de esa región a alta velocidad, en principio puede extraer una hora muy exacta de cada uno de los relojes con forma de partículas con los que choca. El tiempo es exacto porque el contacto es "próximo" o se toca, lo que elimina las ambigüedades de espacio-tiempo habituales cuando se intercambian datos entre fotogramas. El objeto que se mueve rápidamente puede "leer" exactamente la hora que la red de relojes en forma de partículas cree que es en cada punto de su viaje, y viceversa.

Sorprendentemente, y no muy obviamente, incluso este concepto está en el artículo de Einstein de alguna manera, por esta razón: invoca la idea de una barra que se mueve a través de otro marco y "lee" el tiempo de ese marco en cada extremo de la barra. Resulta que la única manera de hacerlo es creando una red sincronizada de relojes muy pequeños que pueden "tocar" cada extremo de la barra a medida que pasa. Cualquier esquema que utilice la luz (frente a la proximidad) para pasar la misma información se vuelve inmediatamente ambiguo, ya que diferentes marcos interpretarían el mensaje que pasa como diferentes "mezclas" de espacio y tiempo. El contacto próximo elimina eso y permite que el experimento original de la barra móvil de Einstein sea realizable en el espacio real con equipos reales.

Nunca he visto un nombre para la idea de nano-relojes asintóticamente encogidos, similares a partículas, de recopilación de datos, totalmente conectados en red y totalmente sincronizados que ocupan un volumen de espacio, pero es una extensión directa y definitivamente factible de las cosas que hacen los sistemas de comunicaciones modernos. todo el tiempo. Me gusta llamar a esta idea de relojes de tamaño nanométrico una red sincronizada de partículas de observación , cuyo acrónimo es, bueno... snoop.

Entonces, si quieres hacer el experimento de la barra móvil de Einstein en la vida real, primero tendrás que crear algún tipo de fisgón. En realidad, hay formas mucho más fáciles de hacerlo que construir nano-relojes reales (ciertamente vienen a la mente cámaras de niebla con imágenes cuidadosamente cronometradas), pero el concepto de un fisgón ayuda a analizar cómo harías para hacer muchas cosas de relatividad especial que suenan un tanto oscuras. experimentos sin perderse en datos ambiguos.

Tenga en cuenta que intencionalmente he ido en una dirección algo diferente de lo que creo que es su sugerencia, que es usar un solo reloj con líneas de mundo de fotones que se extienden desde él. El reloj central único funciona muy bien para definir una sola celda de espacio y tiempo, pero creo que terminará con un solo reloj de péndulo de gran granularidad para cuando resuelva todos los detalles de la idea. Puede hacer mucho con una celda bien definida de ese tipo, pero el hecho de que ni siquiera pueda hacer el primer experimento mental de la relatividad especial de Einstein (la barra móvil) requiere múltiplesceldas de reloj sincronizadas es un argumento bastante bueno de que también se necesitarán sincronización y múltiples celdas (múltiples relojes idénticos) para recopilar suficientes datos para probar incluso la relatividad especial en detalle, y mucho menos en general.

Si, por otro lado, acepta la idea de un "límite de indagación" en el que puede aproximar los relojes sincronizados en un punto de una región del espacio con cualquier nivel de detalle que sea suficiente para su experimento particular, creo que terminará con un resultado mucho más satisfactorio (y experimentalmente inequívoco). En términos de esos péndulos de luz que mencioné:

... conectas en red una gran cantidad de ellos haciendo que se toquen en sus esquinas laterales. Si los relojes centrales también pueden recopilar datos, esa es en realidad la forma más precisa de definir un fisgón.

Anexo 2013-02-02: Varias referencias en línea relevantes

Como resultado de la excelente información agregada a través de la respuesta de @RetardedPotential, ahora conozco el nombre "estándar" para las células rho dentro de la comunidad de espacio curvo: diamantes causales . El hermoso diagrama de diamante causal en el enlace que acabo de dar es de esta entrada de blog de 2009 de los físicos teóricos Sabine Hossenfelder y Stefan Scherer . Por la variedad que estoy viendo al buscar ejemplos, no parece haber una sola forma altamente estandarizada de etiquetar las geodésicas de luz hacia atrás y hacia adelante que forman los lados de los diamantes causales. los etiqueté${\pi_\phi}^-$y${\pi_\phi}^+$para el al revés ($-$) y adelante ($+$) coordenadas de fotones ($\pi$) de marco$\phi$, pero puedo volver a etiquetarlos si existe algo más estándar.

Más importante aún, la idea de usar celdas lo suficientemente pequeñas para garantizar que el espacio sea localmente plano, ¡la misma suposición de suavidad que subyace en el cálculo, también se ha explorado! Llamo fisgones a esas redes, pero el artículo de 2007 de GW Gibbons y SN Solodukhin The geometric of small causal diamonds (Physics Letters B, Vol. 649, Issue 4, 7 June 2007, p.317–324) reconoce claramente esta misma idea y explora desde la perspectiva de analizar el espacio curvo.

¡Y guau! Esto es lo que parece ser muy relevante para el análisis de diamantes causales de grano fino de hace solo un par de meses:

La geometría discreta de un pequeño diamante causal , por Mriganko Roy, Debdeep Sinha y Sumati Surya. Enviado a arXiv el 4 de diciembre de 2012

Entonces, Haskell Curry, es posible que desee consultar las referencias anteriores como puntos de partida si está interesado en el mapeo detallado de espacios curvos.

(Mis propios intereses de SR en fisgones siguen siendo un poco tangenciales a los espacios curvos... um, ¿acabo de hacer un juego de palabras?)

2013-02-03

En 2007, @lubosmotl resumió una charla de Raphael Bousso en la que Bousso menciona los diamantes causales en el contexto de su idea del universo holográfico. La frase es claramente más antigua, por ejemplo, ver esta mención de 1999 de diamantes causales por George Svetlichny . Lo más probable es que fuera un eslogan común en la década de 1990 para el concepto de relatividad simple de la intersección de conos de luz hacia adelante y hacia atrás.

Mis celdas rho necesariamente tienen la misma geometría que los diamantes causales, pero eso es todo lo que se parece. Por definición, una celda rho tiene un reloj de masa en reposo no acelerado como su columna vertebral, y usa ese reloj para definir$\tau_\rho$,$t_\rho$, y$l_\rho$, siendo el último isotrópico solo dentro del marco del reloj. El reloj podría ser tan simple como un muón, y los reflectores podrían reemplazarse por intercambios de fotones entre relojes. Sin embargo, sin una columna vertebral de masa en reposo, no veo fácilmente cómo un diamante causal puede tener una causa sobre la que ser causal, por así decirlo.

La idea del sistema de coordenadas en el espacio de Minkowsky es una generalización de, por ejemplo, un sistema de coordenadas cartesiano en el que en cualquier punto tienes un conjunto de números que dan tu posición dentro de ese sistema de coordenadas. Los relojes se agregan para poder visualizar el sistema de coordenadas en 3 dimensiones pero también se puede pensar como el tiempo siendo un eje perpendicular a las otras 3.

Por ejemplo, imagina en 1+1 dimensiones, eso es 1 dimensión de espacio y 1 dimensión de tiempo. Extiendes una barra unidimensional infinita y colocas relojes en ella, con un espacio que puede ser tan pequeño como quieras. Luego, si estás en la barra en algún punto del espacio y tiempo, obtienes un número de la barra que representa tu coordenada espacial y un número del reloj que es tu coordenada de tiempo. Los relojes están sincronizados en el sentido de que si envías un haz de luz desde un punto$(x_0,t_0)$, cuando el haz alcanza una posición espacial de un observador en$x_0+\Delta x$, el reloj al lado del observador medirá un tiempo$t_0+\Delta x/c$.

Otra forma de ver esta construcción es incrustándola en un espacio euclidiano 2D, en el que una línea recta infinita representa la coordenada del espacio y una línea recta perpendicular representa la coordenada del tiempo. En esta representación queda más claro a qué nos referimos con tener relojes sincronizados. Es solo que el camino en el que viaja la luz en esta representación 2D tiene una pendiente de 45º (suponiendo$c=1$). Por lo tanto, en la imagen de la barra del reloj, dividir la cuadrícula en más nodos significa, en esta imagen, que agrega más cortes en sus ejes perpendiculares. Esto no debería causar más problemas que construir, por ejemplo, la línea real (que para algunos matemáticos puros tiene algunos defectos lógicos).

En la segunda nota, sobre el espacio-tiempo curvo. La palabra curvo significa que en la imagen de la barra del reloj no puedes extender tus barras para siempre debido a la curvatura intrínseca del espacio-tiempo. Lo que puede hacer entonces es extenderlos solo hasta cierto punto, que considera como un sistema de coordenadas "local". Por lo tanto, este sistema de coordenadas solo es válido en una vecindad de algún punto del espacio-tiempo que elija. Esta construcción se realiza naturalmente en variedades, ya que en esas estructuras matemáticas tienes una noción de un sistema de coordenadas local asociado a cada elemento de tu espacio topológico.