¿Cuánto delta-v podemos extraer de una honda gravitatoria y qué factores lo limitan?

Question

¿Cuánto delta-v podemos extraer de una honda gravitatoria y qué factores lo limitan?

Espacio
delta-v
asistencia por gravedad
mecánica-orbital

usuario6738

Muchas sondas espaciales utilizan la asistencia de la gravedad de varios objetos espaciales para aumentar su velocidad y ahorrar en los requisitos de propulsor. ¿De qué factores depende el aumento de delta-v? Mis conjeturas son:

Masa del objeto (cuanto más masivo, mejor)
Distancia del objeto a la nave espacial (cuanto más cerca, mejor)
Tiempo pasado detrás (o adelante, si desea desacelerar) del objeto (cuanto más tiempo, mejor)

Sin embargo, no estoy seguro de mis especulaciones, ya que provienen únicamente de la lectura en el tiempo libre y la experiencia adquirida jugando al juego Kerbal Space Program. ¿Podría alguien con más confianza ampliar mi percepción de la honda gravitacional?

Cazador de ciervos

maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/Psling/sling.pdf

usuario6738

@DeerHunter ¡Pero no está prohibido aquí y lo aceptaré porque es bueno!

usuario6738

Supongo que valió la pena la espera :)

fibonático

Se hizo una pregunta similar en el intercambio de pila de física. Mi respuesta llegó a la misma ecuación que la respuesta de Mark Adler, pero contiene un poco más de derivaciones, por lo que también podría ser útil.

Alejandro Ivanov

@fibonatic Oye, tenía una pregunta sobre tu respuesta, pero como no tengo suficiente reputación para comentar sobre el intercambio de pila de física, preguntaré aquí. En primer lugar, no entiendo lo que quiere decir con esto: "la anomalía verdadera que es, por definición, igual a cero en el periápside y, por lo tanto, la cantidad máxima de flexión será aproximadamente el doble de la anomalía verdadera en 𝑟 = ∞". Entiendo que TA = 0 en el periapsis, pero no entiendo por qué esto implica que la flexión máxima es, por lo tanto, el doble de TA en 𝑟=∞. ¡Si pudieras explicarme esto, sería muy apreciado!

Alejandro Ivanov

@fibonatic También me preguntaba por qué se usa el exceso de velocidad hiperbólico en lugar de simplemente la velocidad entrante de la nave espacial (que yo sepa, no es lo mismo). Tengo problemas para entender cómo v∞ tiene sentido en este contexto, ya que es la velocidad a una distancia infinita del cuerpo celeste y para su respuesta parece tomarla como la velocidad entrante de la nave espacial (esta es esencialmente la relación que está demostrando: ¿cuál es el efecto de la velocidad entrante en el cambio de velocidad). Entonces, si también puede explicar esto, sería muy apreciado.

fibonático

@AlexanderIvanov Para responder a ambos, usé que para órbitas suficientemente excéntricas con periapsis lo suficientemente bajo, las trayectorias de entrada y salida se aproximan bien con una línea y a la distancia donde la influencia del planeta se vuelve insignificante el cambio acumulativo en la velocidad debido a este planeta también es despreciable. En este caso, se puede decir que la velocidad entrante de la nave espacial es aproximadamente igual al exceso de velocidad hiperbólico y que la TA en el encuentro es aproximadamente TA en 𝑟=∞ y, por lo tanto, cuando se dirige al periápside, barre el ángulo de TA en 𝑟=∞ y al salir barres otro TA en 𝑟=∞.

Alejandro Ivanov

@fibonatic Creo que entiendo. Entonces, el TA en el momento exacto de entrar en la esfera o influencia del planeta es el TA en 𝑟=∞ (porque 𝑟 es ∞ en este punto). Esto luego r va a 0 en el periapsis y luego vuelve a ∞ cuando abandona el planeta. Y entonces ese es el ángulo máximo de deflexión, que sería igual a 180° (con alta e). También me preguntaba por qué su fórmula para el ángulo de deflexión es diferente de la que se encuentra aquí: space.stackexchange.com/questions/6504/… ¿es porque la suya es el ángulo máximo?

fibonático

@AlexanderIvanov, una pequeña corrección es que r no necesariamente llega a 0 en el periápside (solo si la altura del periápside es cero, pero luego la nave espacial chocaría contra el planeta). Y la otra fórmula del ángulo de deflexión solo difiere en una constante

π

$\pi$ por lo tanto, 180 grados, ya que esa fórmula calcula la desviación real de la velocidad mientras que la mía calcula ese ángulo barrido al pasar el planeta (pero fue más fácil de derivar).

Alejandro Ivanov

@fibonatic Ok, gracias por las explicaciones. También me preguntaba si podrías explicarme cómo se te ocurrió la fórmula para detla-v. Sé cómo expresar delta-v (v_out - v_in) en términos de v∞, la velocidad heliocéntrica del planeta y el ángulo entre estos dos vectores (usando la ley del coseno), pero cuando vi tu fórmula parece mucho más simple ( no necesita conocer la velocidad heliocéntrica en el momento correcto o el ángulo entre v∞ y la velocidad del planeta). Desafortunadamente, no tengo idea de lo que hiciste (sé que es una pregunta tonta, pero no pude encontrar ninguna explicación en línea).

Alejandro Ivanov

O si sabe dónde podría encontrar la derivación en línea porque he estado buscando pero es difícil incluso encontrar la fórmula mencionada en alguna parte y cuando lo hago no hay explicación de dónde proviene.

fibonático

@AlexanderIvanov, mis ecuaciones ya asumen que la velocidad que das es relativa al planeta en el encuentro. Tampoco dice directamente en qué dirección apunta el cambio de velocidad. Así que no puedes usarlo para calcular tiros de honda de gravedad. Sin embargo, sí muestra que uno tiene rendimientos decrecientes en el cambio de velocidad resultante a medida que la velocidad de encuentro (≈v∞) se vuelve más y más grande.

Respuestas (2)

¿Cuánto delta-v podemos extraer de una honda gravitatoria y qué factores lo limitan?

@DeerHunter ¡Pero no está prohibido aquí y lo aceptaré porque es bueno!
Se hizo una pregunta similar en el intercambio de pila de física. Mi respuesta llegó a la misma ecuación que la respuesta de Mark Adler, pero contiene un poco más de derivaciones, por lo que también podría ser útil.
@fibonatic Oye, tenía una pregunta sobre tu respuesta, pero como no tengo suficiente reputación para comentar sobre el intercambio de pila de física, preguntaré aquí. En primer lugar, no entiendo lo que quiere decir con esto: "la anomalía verdadera que es, por definición, igual a cero en el periápside y, por lo tanto, la cantidad máxima de flexión será aproximadamente el doble de la anomalía verdadera en 𝑟 = ∞". Entiendo que TA = 0 en el periapsis, pero no entiendo por qué esto implica que la flexión máxima es, por lo tanto, el doble de TA en 𝑟=∞. ¡Si pudieras explicarme esto, sería muy apreciado!
@fibonatic También me preguntaba por qué se usa el exceso de velocidad hiperbólico en lugar de simplemente la velocidad entrante de la nave espacial (que yo sepa, no es lo mismo). Tengo problemas para entender cómo v∞ tiene sentido en este contexto, ya que es la velocidad a una distancia infinita del cuerpo celeste y para su respuesta parece tomarla como la velocidad entrante de la nave espacial (esta es esencialmente la relación que está demostrando: ¿cuál es el efecto de la velocidad entrante en el cambio de velocidad). Entonces, si también puede explicar esto, sería muy apreciado.
@AlexanderIvanov Para responder a ambos, usé que para órbitas suficientemente excéntricas con periapsis lo suficientemente bajo, las trayectorias de entrada y salida se aproximan bien con una línea y a la distancia donde la influencia del planeta se vuelve insignificante el cambio acumulativo en la velocidad debido a este planeta también es despreciable. En este caso, se puede decir que la velocidad entrante de la nave espacial es aproximadamente igual al exceso de velocidad hiperbólico y que la TA en el encuentro es aproximadamente TA en 𝑟=∞ y, por lo tanto, cuando se dirige al periápside, barre el ángulo de TA en 𝑟=∞ y al salir barres otro TA en 𝑟=∞.
@fibonatic Creo que entiendo. Entonces, el TA en el momento exacto de entrar en la esfera o influencia del planeta es el TA en 𝑟=∞ (porque 𝑟 es ∞ en este punto). Esto luego r va a 0 en el periapsis y luego vuelve a ∞ cuando abandona el planeta. Y entonces ese es el ángulo máximo de deflexión, que sería igual a 180° (con alta e). También me preguntaba por qué su fórmula para el ángulo de deflexión es diferente de la que se encuentra aquí: space.stackexchange.com/questions/6504/… ¿es porque la suya es el ángulo máximo?
@AlexanderIvanov, una pequeña corrección es que r no necesariamente llega a 0 en el periápside (solo si la altura del periápside es cero, pero luego la nave espacial chocaría contra el planeta). Y la otra fórmula del ángulo de deflexión solo difiere en una constante $\pi$ por lo tanto, 180 grados, ya que esa fórmula calcula la desviación real de la velocidad mientras que la mía calcula ese ángulo barrido al pasar el planeta (pero fue más fácil de derivar).
@fibonatic Ok, gracias por las explicaciones. También me preguntaba si podrías explicarme cómo se te ocurrió la fórmula para detla-v. Sé cómo expresar delta-v (v_out - v_in) en términos de v∞, la velocidad heliocéntrica del planeta y el ángulo entre estos dos vectores (usando la ley del coseno), pero cuando vi tu fórmula parece mucho más simple ( no necesita conocer la velocidad heliocéntrica en el momento correcto o el ángulo entre v∞ y la velocidad del planeta). Desafortunadamente, no tengo idea de lo que hiciste (sé que es una pregunta tonta, pero no pude encontrar ninguna explicación en línea).
O si sabe dónde podría encontrar la derivación en línea porque he estado buscando pero es difícil incluso encontrar la fórmula mencionada en alguna parte y cuando lo hago no hay explicación de dónde proviene.
@AlexanderIvanov, mis ecuaciones ya asumen que la velocidad que das es relativa al planeta en el encuentro. Tampoco dice directamente en qué dirección apunta el cambio de velocidad. Así que no puedes usarlo para calcular tiros de honda de gravedad. Sin embargo, sí muestra que uno tiene rendimientos decrecientes en el cambio de velocidad resultante a medida que la velocidad de encuentro (≈v∞) se vuelve más y más grande.

marca adler · Answer 1

marca adler

Sí, esos son los tres factores. Su tercer factor aparece como el $v_\infty$ de la nave espacial en relación con el objeto. Los dos primeros son el GM del objeto, $\mu$ y la distancia de aproximación más cercana $r$ .

los $\Delta V$ puedes obtener es:

\frac{2 v_{\infty}}{1 + \frac{r v_{\infty}^{2}}{m}}

$2\,v_\infty\over 1+{r\,v_\infty^2\over\mu}$

Como supusiste, baja $v_\infty$ es bueno ya que pasas más tiempo bajo la influencia, por así decirlo. Pero no demasiado bajo. los $\Delta V$ sube como $v_\infty$ cae hacia $\sqrt{\mu\over r}$ , pero debajo de eso, el $\Delta V$ empieza a bajar de nuevo.

Delta V tiene un máximo

En el lado izquierdo de la curva, no hay mucha velocidad para cambiar. Tenga en cuenta que el cambio de velocidad proviene completamente de un cambio de dirección en el marco de referencia del cuerpo que se lanza. La magnitud de la $v_\infty$ salir es exactamente igual a la magnitud que entra. El cambio de dirección se llama curva. El ángulo de curvatura al máximo $\Delta V$ de $\sqrt{\mu/r}$ es 60°.

Jerard Pucket

¿Podrías explicar el

v_{\infty}

$v_\infty$ término un poco? Realmente no se puede medir en el infinito.

v

$v$ en el borde de la esfera de influencia? ¿Distancia de la esfera de la colina? Como es

v_{\infty}

$v_\infty$ ¿determinado?

marca adler

Puedes calcular

v_{\infty}

$v_\infty$ desde su posición actual, velocidad y

μ

$\mu$ del cuerpo.

tildalola

@JerardPuckett Si ayuda,

v_{\infty}

$v_\infty$ es también conocida como exceso de velocidad hiperbólica .

sampathsris

¿Alguien puede explicar qué

v_{\infty}

$v_\infty$ , y

μ

$\mu$ ¿son?

marca adler

v_{\infty}

$v_\infty$ es la velocidad del objeto en relación con el cuerpo a una distancia infinita, y

μ

$\mu$ es la masa del cuerpo por la constante gravitatoria de Newton, es decir

G M

$GM$ .

Alejandro Ivanov

@MarkAdler ¿Podría explicar cómo consiguió que el ángulo de curvatura que dará como resultado el delta-v máximo sea de 60 grados? También me pregunto cómo sabes que el 𝑣∞ óptimo está en √𝜇/𝑟. No me queda claro que el pico de la gráfica sea √𝜇/𝑟. Y finalmente, esta es probablemente una pregunta tonta, pero no entiendo por qué dividiste ambos ejes por √𝜇/𝑟. Si me pudieras explicar esto te lo agradeceria mucho!

marca adler

Vea esta respuesta para el ángulo de curvatura. Para

v_{\infty} = \sqrt{μ / r}

$v_\infty=\sqrt{\mu/r}$ , usted obtiene

e = 2

$e=2$ .

marca adler

divido por

\sqrt{μ / r}

$\sqrt{\mu/r}$ en ambos ejes para obtener un gráfico adimensional que se puede utilizar para cualquier sobrevuelo.

marca adler

Es bastante evidente que el máximo en la trama está en

(1, 1)

$(1,1)$ . Si quieres probarlo, saca la derivada de

2 x / (1 + x^{2})

$2x/\left(1+x^2\right)$ , configúralo en

0

$0$ y resolver. Obtendrás

1

$1$ . (Y

- 1

$-1$ , que no es de interés). Vuelva a enchufarlo y obtendrá

1

$1$ . entonces es en

(1, 1)

$(1,1)$ .

Alejandro Ivanov

@MarkAdler Ya veo, gracias. Entonces, para el ángulo, ¿significaría eso que 60 ° es el ángulo de curvatura óptimo, de modo que delta-v es máximo para cualquier asistencia de gravedad? En ese caso, ¿es cierto que para una asistencia de gravedad es el ángulo de curvatura el que determina el cambio de velocidad? Y si lo es, ¿cuál sería la relación? - ¿Un aumento en el ángulo de curvatura causaría un delta-v más alto, por ejemplo?

marca adler

Ahora tienes las ecuaciones que necesitas para responder eso.

Alejandro Ivanov

@MarkAdler Correcto, lo entendí, gracias, también me preguntaba de dónde proviene la ecuación para delta-v que escribió en su respuesta. Estaba tratando de encontrar la derivación en línea, pero es muy difícil encontrarla mencionada en cualquier lugar, y cuando es así, la derivación no se presenta.

marca adler

@AlexanderIvanov Dado que las magnitudes de velocidad entrantes y salientes son las mismas, todas las

Δ V

$\Delta V$ proviene del ángulo de curvatura. Solo toma dos vectores de velocidad con magnitud

v_{\infty}

$v_\infty$ donde el ángulo entre ellos es

δ

$\delta$ . Resta esos dos vectores. La magnitud de esa diferencia es la

Δ V

$\Delta V$ .

Alejandro Ivanov

@MarkAdler Sí, entiendo que es un triángulo, pero no entiendo cómo representar delta-v en términos del exceso de velocidad hiperbólico, la altitud del periapsis y el parámetro gravitatorio. Esto es lo que intenté hacer en mi respuesta pero no tuve éxito. También me doy cuenta de que estaba usando la fórmula de la excentricidad en términos de 𝑣∞, r y 𝜇, pero tampoco sé de dónde viene eso.

marca adler

Con el triángulo se puede obtener el

Δ V

$\Delta V$ en términos de

v_{\infty}

$v_\infty$ y

δ

$\delta$ . A partir de las fórmulas en la respuesta que vinculé anteriormente, puede obtenerla en términos de los otros parámetros que enumera.

marca adler

Demasiado para comentarios. Necesitas hacer una nueva pregunta.

nivel río st · Answer 2

Como se indica en la excelente respuesta de Mark Adler, el DeltaV máximo posible ocurre en la siguiente condición:

$V_{\infty \text{ for maximum } \Delta \text{V}} = \sqrt{\mu/r}$ .

Los valores tabulados para esta cantidad son difíciles de encontrar. Pero la velocidad de escape a distancia $r$ es dado por

$\text{Escape Velocity} = \sqrt{2\mu/r}$ .

Los valores tabulados para las velocidades de escape en la superficie (aunque no son directamente relevantes para la honda) son mucho más fáciles de encontrar, y todo lo que tenemos que hacer para convertirlos es dividirlos por $\sqrt{2}$ .

Por ejemplo , http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ proporciona velocidades de escape para todos los planetas del sistema solar, además de la luna. También da sus velocidades orbitales (alrededor del sol para los planetas y alrededor de la tierra para la luna).

Para los planetas terrestres, la velocidad orbital alrededor del sol es varias veces mayor que la velocidad de escape del planeta, y es posible concebir una situación en la que $V_{\infty}$ es igual (o mayor que) $\sqrt{\mu/r}$ .

Por otro lado, para los planetas gigantes (Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno) la velocidad orbital alrededor del sol es varias veces menor que la velocidad de escape del planeta. Es difícil concebir una trayectoria en la que una nave espacial desde la Tierra se acercaría a uno de estos planetas con una velocidad relativa mucho mayor que la velocidad orbital del planeta[1]. En la práctica, esto puede dificultar $V_{\infty}$ acercarse al límite de $\sqrt{\mu/r}$ [1], por lo que puede ser difícil aprovechar todas las $\Delta V$ disponibles de la gravedad del planeta.

Sin embargo, podemos obtener muchos cambios de dirección del planeta a menor $V_{\infty}$ (potencialmente hasta casi 180 grados para el más bajo $V_{\infty}$ valores.)

[1] EDITAR: para calificar aún más, agregue "en un ángulo conveniente". Ver comentarios (obviamente esto depende de la misión exacta, todas las misiones son diferentes).

@ MarkAdler 1. Estoy hablando de la velocidad orbital del planeta alrededor del sol, que no tiene ninguna relación con la velocidad de escape del planeta. Lo siento si eso no fue claro.
@ MarkAdler 2. Según el enlace, Júpiter tiene Vescape = 59.5 km / s @ 1 bar. Usemos un radio más grande donde Vescape = 49,5 km/s para evitar el atm. La velocidad orbital ahora es 49,5/sqrt(2)=35 km/s y el Vinf para dV máximo también es 49,5/sqrt(2)=35 km/s. Ahora, ciertamente es posible que un cometa se acerque a Júpiter con esa velocidad, o una nave espacial en el futuro. Pero como Júpiter está orbitando el sol a 13,1 km/s, una nave tendría que acercarse a 35-13,1 = 21,9 km/s en órbita retrógrada para obtener un Vinf de 35 km/s. No puedo imaginar qué tipo de trayectoria de misión haría eso con la tecnología actual.
@MarkAdler New Horizons obtuvo alrededor de 4 km/s de Júpiter. La asistencia de gravedad de Júpiter más grande que puedo encontrar es para la Voyager 2, que se ve alrededor de 10-15 km/s (también obtuvo un poco más de Saturno). Si hay alguna nave espacial real o propuesta que se acercara a 30 km/s desde Júpiter Me encantaría saberlo (encontrar información detallada de la trayectoria en línea no es tan fácil). Los ahorros son enormes (exponenciales para cohetes químicos) pero solo si el planeta lo envía en la dirección que desea ir. Quería tener una idea de los números y comparar lo que se puede lograr teóricamente con lo que se puede lograr de manera útil.
Eso no estaba claro: la edición definitivamente ayuda. He borrado los comentarios.
No es difícil concebir casos en los que un enfoque $v_\infty$ a un planeta gigante es mayor que la velocidad de la órbita solar de ese planeta, ya que la Voyager 2 hizo exactamente eso al menos dos veces. En el sobrevuelo de Júpiter, la Voyager 2 ya había alcanzado la velocidad de escape solar y avanzaba a unos 21 km/s en relación con el Sol cuando llegó a Urano. La velocidad de la órbita de Urano alrededor del Sol es de unos 6,8 km/s, por lo que la $v_\infty$ tenía que ser al menos 14 km/s. La Voyager 2 viajaba a 20 km/s en Neptuno, que tiene una velocidad de órbita solar de 5,4 km/s.
@MarkAdler tienes razón! Una vez más, el problema parece ser mi redacción. La Voyager 2 estaba en una trayectoria prograda radialmente hacia afuera cuando se encontró con Urano. A partir de la información que he visto, parece poco probable que extraer el dV completo de Urano hubiera agregado más velocidad heliocéntrica de la que realmente se agregó (y podría haberla reducido). La Voyager 2 ganó aproximadamente 5 km / s de Urano, aproximadamente 1 / 3 del dV teórico, y en realidad perdió velocidad heliocéntrica en Neptuno, aunque hubo un gran cambio de plano (no estoy seguro si querían una trayectoria final fuera del plano o si era para observar a Tritón)
Era para observar a Tritón. Ese fue el objetivo principal que determinó la geometría del sobrevuelo de Neptuno.

¿Cuánto delta-v podemos extraer de una honda gravitatoria y qué factores lo limitan?

usuario6738

Cazador de ciervos

usuario6738

usuario6738

fibonático

Alejandro Ivanov

Alejandro Ivanov

fibonático

Alejandro Ivanov

fibonático

Alejandro Ivanov

Alejandro Ivanov

fibonático

Respuestas (2)

marca adler

Jerard Pucket

marca adler

tildalola

sampathsris

marca adler

Alejandro Ivanov

marca adler

marca adler

marca adler

Alejandro Ivanov

marca adler

Alejandro Ivanov

marca adler

Alejandro Ivanov

marca adler

marca adler

nivel río st

nivel río st

nivel río st

nivel río st

marca adler

marca adler

nivel río st

marca adler