¿Cuándo está libre un vórtice de flujo?

Lo primero que hay que entender es que los vórtices y la vorticidad no son lo mismo, a pesar de la similitud de las palabras. Un vórtice es una región en un flujo con características giratorias (a una escala bastante grande si lo desea), pero puede ser irrotacional (vorticidad cero). La vorticidad es una propiedad local del fluido, la velocidad de rotación de una partícula imaginaria de fluido en ese punto. Un flujo viscoso entre dos placas es en realidad rotacional (vorticidad distinta de cero), aunque es laminar (en capas).

Para responder a su pregunta sobre el flujo potencial . Un flujo potencial es un flujo donde el campo de velocidad se deriva de un potencial. En 2D, por ejemplo, tendríamos, dado el potencial de velocidad$\phi$:

$$u = \frac{\partial}{\partial x} \phi\\ v = \frac{\partial}{\partial y} \phi$$ Tal flujo es necesariamente irrotacional ( $\nabla \wedge \vec{u} = 0$), desde $$-\frac{\partial}{\partial y}u+\frac{\partial}{\partial x}v = -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\phi + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\phi = 0$$ Tenga en cuenta que no nos dice nada directamente sobre los vórtices.

Pero, ¿cómo sabemos si se supone que debemos sospechar un flujo potencial en primer lugar? Un claro no-go son los flujos viscosos con límites sin deslizamiento. Un límite sin deslizamiento (en un marco de referencia donde el límite está en reposo) se caracteriza por

$$\vec{u}\vert_\text{boundary} = 0$$ El fluido en contacto con el límite antideslizante (en adelante simplemente "pared") no se mueve, pero el que está ligeramente por encima sí lo hace. Si la pared es paralela a la $x$-eje, entonces esto significa que la variación del flujo en el $y$-el eje debe ser distinto de cero: $$\frac{\partial}{\partial y} u \neq 0$$ de lo contrario, el fluido nunca se movería. Pero tan pronto como tengas eso, entonces por supuesto $\omega= \nabla \wedge \vec{u} \neq 0$¡también! Para un fluido viscoso, siempre se genera vorticidad en una pared.

Para flujos no viscosos, las paredes vienen dadas por la condición

$$\vec{u}\cdot\vec{n}\vert_\text{boundary} = 0$$ es decir , ningún flujo puede atravesar la pared, pero bien podría deslizarse tangencialmente sin pérdida de velocidad. Dada una geometría razonable, el flujo puede moverse, no debería haber vorticidad. No apostaría a lo que sucede si sopla un fluido perfecto en una caja cerrada: es difícil creer que el flujo que impacta con las paredes de la caja (con las esquinas y todo) no sería rotacional, pero tendría que verificar .

Todavía hay otro mecanismo que puede introducir$\partial_y u\neq0$o$\partial_x v \neq 0$: fuerzas corporales muy particulares. En realidad, ese es uno de los medios por los que puede estudiar la turbulencia en una caja periódica de fluido ( es decir , sin paredes): genera un corte por una fuerza de cuerpo aleatoria. Pero no los verá en la mayoría de los casos.

En las aplicaciones, el flujo potencial se usa particularmente en la aproximación del flujo no viscoso alrededor de los perfiles, con el flujo extendiéndose hasta el infinito alrededor (evitando el "escenario de caja" que mencioné anteriormente). A lo sumo, tendrías la fuerza de la gravedad, pero ese es un buen campo uniforme en la mayoría de las aproximaciones.

Además, en 2D, un flujo no viscoso irrotacional permanece irrotacional en el tiempo por el teorema de circulación de Kelvin . Buen material. ¿Alguna vez notó que siempre estudiamos perfiles aerodinámicos en 2D? Interesante.

(Hay otra razón para estudiar perfiles aerodinámicos en 2D: la sustentación de una sección del ala por unidad de longitud en realidad se predice bastante bien, mientras que en los flujos no viscosos en 3D, ¡la sustentación siempre es cero! Vea esta otra pregunta. Ahí es donde entran en juego métodos más avanzados si necesitas calcular cosas en 3D de todos modos).

Si me perdí algo, hazme algunas preguntas a través de los comentarios e intentaré actualizar la respuesta.

Estás confundiendo términos. Nunca se asume que un flujo está libre de vórtices. Un vórtice es un término genérico que se usa para describir un fluido que gira alrededor de algún eje. El flujo potencial utiliza la suposición de que un flujo es irrotacional o

$$\vec{\omega} =\vec{\nabla}\times\vec{U} = 0$$ De hecho, el flujo irrotacional puede estar compuesto por vórtices. Lo que es aún más confuso para algunas personas es que un flujo de corte simple no es irrotacional a pesar de que no hay rotación física involucrada.

La justificación detrás de la validez de la suposición irrotacional para algunos flujos incompresibles se puede ver a través de la ecuación de evolución de la vorticidad

$$\frac{D\vec{\omega}}{Dt}=\nu\nabla^2\vec{\omega} + \vec{\omega}\cdot\nabla\vec{U}$$ Esta ecuación demuestra que las regiones que comienzan como irrotacionales tienden a permanecer así en ausencia de una interacción externa que conduzca a la difusión de la vorticidad en las zonas irrotacionales.

La viscosidad se opone a las capas adyacentes de fluido que se mueven entre sí. Si tuviera un vórtice, entonces, a una distancia radial diferente, las capas giratorias de fluido deberían tener velocidades diferentes para evitar que se muevan entre sí. Imagínese girando el fluido, para hacer un vórtice... para que se forme un vórtice, quiere que el fluido en un radio más pequeño arrastre el fluido en un radio más grande y lo haga girar. De lo contrario, no puedes crear vórtices. Entonces, si no tienes viscosidad, no puedes crear vórtices.

La viscosidad no siempre implica vórtices, ya que podrías someter el fluido a un buen flujo laminar. Por lo general, solo si agita, o de alguna manera "fuerza" un fluido, formará vórtices. Sin embargo, las cosas pueden ser muy diferentes con un número de Reynolds más alto, donde el flujo será turbulento y no puedo manejar eso.

Propongo un (pensamiento) experimento. De hecho, podría realizar esto y verificar, si lo desea. Se me acaba de ocurrir esta idea y no he hecho este experimento. Entonces, si alguien intenta realizar esto, me gustaría saberlo.

A partir de la densidad, la presión y la viscosidad, puede generar una escala de tiempo mediante análisis dimensional. Si intenta agitar un fluido más rápido que esta escala de tiempo, (presumiblemente) notará que comienza a formar un vórtice, pero no si agita más lento. Alternativamente, debería ser "más fácil" (desde el punto de vista de la velocidad de agitación) formar vórtices en líquidos más viscosos. Tenga en cuenta que "más fácil" en el sentido de la velocidad de rotación mientras se agita. Para un líquido más denso, tendrá que esforzarse más para lograr la misma velocidad nominal mientras revuelve.