Diferencia entre vorticidad y circulación.

La definición de vorticidad es$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$, dónde$\mathbf{v}$es el campo vectorial de velocidad.

Ahora, si observo un flujo giratorio en coordenadas cilíndricas, encuentro que:

$$\nabla \times \mathbf{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial (r v_{\theta})}{\partial r},$$ en caso de un vórtice libre también sé que$v_\theta \propto 1/r$y por lo tanto la derivada en la ecuación anterior se anula para un vórtice centrado en$r=0$. En otras palabras, la vorticidad es cero en todas partes,$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$.

También puedo ver la situación globalmente y, en lugar del rotacional localizado, tomo una integral de línea de la velocidad a lo largo de una distancia de trayectoria circular$r$desde el centro En este caso encuentro que:

$$C = \int_{\text{circular path}}{\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l} = 2\pi ru_{\theta}},$$ una constante finita. Pero por el teorema de Stoke sé que: $$\int_{\text{enclosed area}}{\left(\nabla \times \mathbf{v}\right)\cdot d \mathbf{A}} = \int_{\text{enclosing curve}}{\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}},$$ pero si la circulación es una constante finita distinta de cero, ¡el rizo también debe ser distinto de cero en algún lugar dentro del área encerrada! ¡Por lo tanto, la vorticidad es distinta de cero en algún lugar del campo del vector de velocidad!

Estos dos hallazgos aparentemente se contradicen, ¿dónde estoy cometiendo un error?