¿Un ala en un flujo potencial tiene sustentación?

La primera pregunta que debe hacerse es: ¿realmente existe un fluido irrotacional, no viscoso e incompresible?

La respuesta es no (bueno, sí, más o menos, si consideras los superfluidos ). El fluido irrotacional, no viscoso e incompresible es una creación matemática para simplificar la solución de las ecuaciones gobernantes.

¡La elevación no puede existir sin la viscosidad! Ese es el concepto erróneo más común que proviene de un curso de aerodinámica de pregrado. Así que vale la pena repetirlo. La elevación no puede existir sin la viscosidad .

Problema de inicio

Sin embargo, cuando observamos el flujo potencial, obtenemos diferencias de presión y estas diferencias de presión dan como resultado una sustentación, entonces, ¿qué sucede? En primer lugar, las ecuaciones de potencial no se cumplen hasta que el vórtice inicial está lo suficientemente lejos. La discusión de lo suficientemente lejos es, de nuevo, un concepto vago. Pero implica determinar la velocidad inducida en el ala por el vórtice inicial utilizando la ley de Biot-Savart . Esencialmente, está "lo suficientemente lejos" cuando la velocidad inducida es pequeña en relación con las otras magnitudes de velocidad en el problema. La viscosidad hace que aparezca este vórtice inicial y este vórtice inicial es lo que causa las diferencias de presión.

Además, en ausencia de viscosidad, la circulación se conserva alrededor de un camino cerrado. Esto no es un problema si hacemos que nuestro dominio sea lo suficientemente grande como para incluir el vórtice inicial. Sin embargo, en realidad no podemos resolver el vórtice inicial con las suposiciones hechas para obtener las ecuaciones potenciales, por lo que debemos omitirlo del dominio. Esto significa que necesitamos tener algún tipo de circulación dentro de nuestro dominio y esto es lo que se convierte en el vórtice vinculado .

Aquí hay una ilustración (perdónenme, definitivamente no soy un artista):

En el arranque, la viscosidad hace que el vórtice inicial se desprenda y continúe aguas abajo. Las ecuaciones de potencial no pueden manejar esta situación porque carecen del término viscoso. Simplemente no es algo que puedan predecir. Sin embargo, en la corriente libre el flujo se comporta como si no fuera viscoso. Entonces, una vez que se pasa por alto el problema inicial, este vórtice persistirá para siempre porque nada lo disipará. Si tomamos esa línea exterior sólida como una superficie de control, podemos integrarnos a su alrededor y encontrar que no hay circulación. Así que Lord Kelvin puede estar tranquilo.

Pero, dado que este vórtice dura para siempre, no es posible rastrearlo para siempre o la solución al problema se vuelve muy costosa. Y estamos (normalmente) interesados ​​en la solución de estado estacionario (aunque también son posibles soluciones potenciales inestables). Así que hacemos un corte artificial en nuestro dominio, esa es la línea discontinua. Cuando hacemos ese corte, la integral de vorticidad alrededor de la suma de las dos superficies de control más pequeñas aún debe ser 0 . Esto significa que el vórtice unido a la superficie aerodinámica tiene una circulación igual en magnitud y de dirección opuesta a la del vórtice inicial.

Durante este proceso de puesta en marcha, existen gradientes de velocidad muy grandes en el borde de salida. Esto es lo que hace que se desprenda ese vórtice. Una vez que el vórtice se aleja, los gradientes de velocidad se vuelven cada vez más pequeños y finalmente llegan a cero. Esta condición de gradiente cero es manejada automáticamente por la viscosidad, pero debe aplicarse en las ecuaciones de potencial a través de la Condición de Kutta .

Condición de Kutta

La razón por la que necesitamos la condición de Kutta es puramente matemática. Cuando se hace la suposición de invisibilidad, el orden de las ecuaciones gobernantes cae y ya no podemos imponer dos condiciones de contorno. Si observamos la ecuación del momento viscoso e incompresible:

$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_i\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_i}$

podemos hacer cumplir dos condiciones de contorno porque tenemos una segunda derivada en$u$. Por lo general, los configuramos para que sean$u_n = 0$y$u_t = 0$, lo que implica que no hay flujo a través de la superficie ni velocidad a lo largo de la superficie.

Eliminar el término viscoso da como resultado tener solo la primera derivada en$u$y por lo que sólo podemos hacer cumplir una condición de contorno. Dado que el flujo a través del cuerpo es imposible, eliminamos el requisito de que la velocidad tangencial sea cero; esto da como resultado la condición de límite de deslizamiento . Sin embargo, no es físicamente correcto dejar que esta línea de deslizamiento persista aguas abajo del borde de fuga. Por lo tanto, se necesita la condición de Kutta para obligar a las velocidades a coincidir en el borde de fuga, eliminando el salto de velocidad discontinuo aguas abajo.

John Anderson Jr explica en Fundamentos de aerodinámica (énfasis en el texto):

... en la vida real, la forma en que la naturaleza asegura que el flujo saldrá suavemente por el borde de fuga, es decir, el mecanismo que usa la naturaleza para elegir el flujo... es que la capa límite viscosa permanece adherida todo el camino al borde de fuga. La naturaleza impone la condición de Kutta por medio de la fricción. Si no hubiera una capa límite (es decir, sin fricción), no habría ningún mecanismo físico en el mundo real para lograr la condición de Kutta.

Él elige explicar que la naturaleza encontró una manera de hacer cumplir la condición de Kutta. Prefiero pensarlo al revés: la condición de Kutta es una construcción matemática que usamos para imponer la naturaleza en nuestra aproximación matemática.

La explicación incorrecta

La explicación de que el flujo en la parte superior necesita ir más rápido para mantenerse al día con el flujo en la parte inferior se llama el Principio de Tránsito Igual y realmente no es una buena manera de presentar el problema. Es contrario a la intuición, no tiene validación experimental y en realidad genera más preguntas que respuestas en la mayoría de las clases en las que se analiza.

Conclusión

Para resumir todo esto y responder directamente a su pregunta: sí, las alas tienen sustentación en un flujo incompresible (y comprimible), irrotacional e invisible . Pero solo porque las ecuaciones de flujo potencial son una abstracción matemática y la condición de Kutta es un "truco" matemático para recuperar una solución que genera sustentación en esas condiciones. Por supuesto, no cualquier ala tendrá sustentación. Un ala simétrica con un ángulo de ataque de cero grados no tendrá sustentación.

La sustentación de un perfil aerodinámico no surge de la forma asimétrica del ala. Surge del hecho de que la dirección del flujo de aire se desvía. Esta desviación toma la forma de vorticidad alrededor del ala, pero eso no es inconsistente con el flujo potencial.

Este artículo muestra claramente cómo un vórtice puede ser irrotacional.

Esta imagen en el artículo de Wikipedia sobre flujo potencial ilustra un ala que genera sustentación en un flujo potencial.

Aquí está la mejor, más científica y más accesible discusión que he visto hasta ahora que explica cómo funcionan las alas. ¡Disfrutar!

Resolver el flujo potencial alrededor de un perfil aerodinámico sin la condición de Joukovsky-Kutta siempre debería dar como resultado una circulación cero. Si solo tomamos en cuenta la condición JK, la solución es diferente; implícitamente incluimos la viscosidad en el problema y la circulación no es necesariamente cero, ¡incluso no hay un término de viscosidad!