¿Cuáles son los posibles campos magnéticos con magnitud constante?

Una respuesta ahora eliminada a esta pregunta reciente me hizo preguntarme sobre esto y no puedo encontrar una respuesta clara en la capa superior de los resultados de Google, así que pensé en preguntar aquí.

¿Cuáles son los posibles campos magnéticos con magnitud constante?

Es decir, supongamos que B : R 3 → R 3 es

  • solenoidal, entonces ∇ ⋅ B = 0 , y
  • con magnitud constante | B ( r ) | ≡ B 0 .

¿Qué se puede decir sobre B ? ¿Es la condición de solenoidalidad lo suficientemente fuerte como para implicar que B ( r ) debe ser un campo vectorial constante? ¿O es posible que la dirección del campo vectorial cambie de un punto a otro? Si es así, ¿puede formularse una descripción general de esta clase de campos?

Cuando dices "constante", ¿quieres decir que no hay cambios en el tiempo o que no hay cambios en el espacio? Creo que la respuesta de @knzhou supone que está preguntando sobre la variación del tiempo. Que creo que es el significado más habitual. Un campo es uniforme si el valor es el mismo en todas partes (al menos en alguna región).
@nasu Este es un requisito de magnitud constante además de un marco magnetostático (es decir, constante en el tiempo). La especificación matemática es inequívoca.
@EmilioPisanty Creo que un enfoque aquí podría ser escribir B = ∇ × A dónde ∇ ⋅ A = 0 . requiriendo eso ∇ ( | B 2 | ) = 0 entonces le dará una condición en A aunque no estoy seguro de que sea bonito.
Supongo que está descartando una hoja de corriente en un avión porque el campo no es regular en el avión.
@Ben Lo descarté principalmente porque no había pensado en la posibilidad ;-). Pero sí, probablemente sea una buena idea restringir esto a campos regulares.

Respuestas (2)

Respuesta parcial: si no hay corrientes, todos esos campos magnéticos deben ser constantes.

En ausencia de corrientes, tenemos

∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = 0.
La condición libre de curl es equivalente a ∂ i B j = ∂ j B i , como queda claro al escribirlo en términos de formas diferenciales. Como resultado, el laplaciano de cualquier componente de campo se desvanece,
∂ 2 B i = ∂ j ∂ j B i = ∂ j ∂ i B j = ∂ i ( ∂ j B j ) = 0.
El Laplaciano de la magnitud al cuadrado es por lo tanto
∂ 2 | B | 2 = 2 B i ∂ 2 B i + 2 ( ∂ j B i ) ( ∂ j B i ) = 2 ( ∂ j B i ) 2 .
Desde | B | 2 es constante, el lado izquierdo es cero y también lo son todos los términos del lado derecho. Pero entonces ∂ j B i = 0 , entonces B es constante

Cuando hay corrientes, tomamos un término extra,

∂ 2 B i ∼ ( ∇ × ∇ × B ) i ∼ ( ∇ × j ) i .
Por lo tanto, el argumento también pasa si ∇ × j = 0 . No estoy seguro de cuál es la respuesta para general j .

La energía de un campo magnético es [Jackson, Classical Electrodynamics (1975) p. 216, convertido a unidades SI]

W = 1 2 ∫ H ⋅ B d 3 X .

En un aspirador,

H = B / m 0 ,

entonces

W = 1 2 ∫ B 2 d 3 X .

Integrada sobre todo el espacio, la energía de un campo con constante B 2 es infinito a menos que B = 0 . Por lo tanto, el único campo magnético posible con magnitud constante es idénticamente cero. Tenga en cuenta que la dirección de B no importa porque es un producto escalar consigo mismo.

En un cuerpo diamagnético o paramagnético, reemplace m 0 por m y obtienes el mismo resultado. ¡No es que haya infinitos cuerpos diamagnéticos o paramagnéticos!

Esto no responde la pregunta.
Dice que los posibles campos magnéticos con magnitud constante son idénticamente cero. ¿Cómo no responde eso a la pregunta?
Esto responde a la pregunta del título pero no a la del cuerpo. Supongo que es técnicamente correcto, pero creo que quedó claro a partir de la pregunta que el espíritu es "¿qué dicen las ecuaciones de Maxwell sobre un campo de magnitud constante?
Las reacciones negativas me parecen extrañas, y otro ejemplo de lo hostil que es el entorno de Stack Exchange. Es la segunda vez que proporciono una respuesta correcta y me han votado en contra. Si puedo demostrar que un campo es idénticamente cero, ¿qué más vale la pena decir?
No demostraste que el campo magnético es cero, mostraste que si el campo magnético es constante en un espacio infinito y la energía del campo magnético debe ser finita, entonces el campo magnético debe ser cero. Esas no son suposiciones, es probable que el OP acepte. Un argumento similar diría que el universo no puede ser isótropo.
¿Qué significa "OP"?
¿Y qué quiere decir con "estos" supuestos? No asumí que el campo magnético es constante, solo su magnitud, que era una parte explícita de la pregunta.
Probablemente esté siendo rechazado porque, al asumir energía finita, elude toda la pregunta. Es como responder a una pregunta sobre el movimiento armónico simple con "el movimiento armónico simple es completamente imposible, porque necesariamente continuaría para siempre, pero en 5 mil millones de años el Sol consumirá la Tierra".
De una forma u otra, debe tener condiciones de contorno, que nadie más ha considerado. El requisito de energía finita implica un tipo de condición límite ("regularidad en el infinito") que se usa comúnmente en los fundamentos del ferromagnetismo.
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