¿Cuáles son los modos de vibración primero, segundo, etc.?

Los modos de vibración están particularmente, aunque de ninguna manera exclusivamente, asociados con instrumentos musicales. Es la forma de vibración, y la mayoría de los instrumentos musicales tienen más de un modo de vibración, por lo que estarían bastante limitados en su rango musical. Compara los sonidos de un violín (de 4 a 7 cuerdas) con un triángulo musical, que solo emite una nota.

Los 3 primeros modos de vibración de una cuerda de guitarra.

Para un ejemplo más extremo de los diversos modos de vibración posibles, aquí hay algunos modos generados por computadora a partir de un parche de batería.

Imágenes y Extractos de Modos de Vibración

Cuando tocas una cuerda estirada, siempre escuchas un sonido con un tono musical definido. Al alterar la longitud, la tensión o el peso de la cuerda, todos familiares para los músicos, puede alterar este tono. Las cuerdas y los parches estirados son adecuados para producir una variedad de vibraciones, por lo que hacen posible instrumentos musicales con una amplia gama de sonidos. Si, en cambio, usaste un ladrillo o una sartén, hay muy poco margen para la variedad musical, ya que sus modos de vibración son limitados.

La descripción matemática más simple de la vibración de una cuerda estirada revela un patrón en el conjunto de frecuencias de resonancia. Una vez que se ha fijado la frecuencia más baja (o fundamental) eligiendo el peso, la tensión y la longitud de la cuerda, todas las demás frecuencias son múltiplos de números enteros: si la primera es f, entonces la segunda es 2f, la tercera 3f y el enésimo es nf. Las frecuencias se denominan frecuencias naturales o sobretonos, y este patrón numérico simple que las relaciona se denomina serie armónica: por lo tanto, una cuerda estirada tiene frecuencias naturales que son armónicas.

He aquí otro ejemplo, pero no musical, de modos de vibración.

Galloping Gertie Movie El colapso del puente de Tacoma Narrows "Gallopin' Gertie" - YouTube

La falla del puente ocurrió cuando se produjo un modo de torsión nunca antes visto, debido a vientos suaves de 40 millas por hora (64 km / h). Este es el llamado modo de vibración torsional (que es diferente del modo de vibración transversal o longitudinal), en el que cuando el lado izquierdo de la calzada bajaba, el lado derecho subía, y viceversa, con la línea central de la calzada. permaneciendo quieto. Concretamente, se trataba del "segundo" modo torsional, en el que el punto medio del puente permanecía inmóvil mientras las dos mitades del puente giraban en direcciones opuestas. Dos hombres demostraron este punto al caminar a lo largo de la línea central, sin verse afectados por el aleteo de la calzada que sube y baja a cada lado. Esta vibración fue causada por el aleteo aeroelástico.

Por lo general, un objeto puede vibrar a diferentes frecuencias. Hay una frecuencia más baja, el modo de tierra, pero son posibles frecuencias más altas. Los detalles dependen de la forma y las propiedades del material del cuerpo vibrante. En el caso más simple, las frecuencias más altas son múltiplos de la frecuencia base, en cuyo caso también se denominan armónicos. El caso común, sin embargo, es que hay muchas más frecuencias. Un ejemplo simple es una cuerda de guitarra que ya proporciona un espectro bastante complejo, es decir, una mezcla de frecuencias. En este caso simple "1D", las posibles frecuencias están dadas por los posibles nodos en la cadena. Imagina una cuerda con longitud$L$luego hay una frecuencia correspondiente a un movimiento con solo dos nodos al final, el modo fundamental . La siguiente frecuencia más alta viene dada por un nodo adicional en el medio, luego 2, etc. Con más nodos, la cuerda tiene que doblarse más, almacenas más energía elástica y la fuerza para devolverla al equilibrio se vuelve más fuerte. La cuerda se mueve más rápido y el sonido es más alto. En dimensiones más altas es más complicado , pero en principio el número de nodos aumenta con el aumento de la energía y la frecuencia, mientras que los modos de contar o nombrar ya no son únicos. También tenga en cuenta que la forma y las propiedades mecánicas definen únicamente el espectro, es decir, las posibles frecuencias a las que un cuerpo puede vibrar, pero conocer el espectro no necesariamente le permite calcular elforma

En pocas palabras: sí, un cuerpo vibra a diferentes frecuencias, cuantos más nodos la vibración, mayor es la frecuencia. Los modos se numeran con frecuencia/energía crecientes (si son únicos y, por lo tanto, posibles)

En condiciones adecuadas, la solución de una ecuación de onda se puede escribir en la forma:

$$f(t, \mathbf{x}) = \sum_{\mathbf{k}}a(\mathbf{k})\,\textrm{e}^{i\left(\omega(\mathbf{k}) t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}\right)}$$ El $\mathbf{k}^{th}$término $a(\mathbf{k})$se conoce como el $\mathbf{k}^{th}$modo, con la frecuencia correspondiente $\omega(\mathbf{k})$. El subconjunto de valores $(k_x, k_y, k_z)$para resumir se obtiene explotando las condiciones de contorno de las ecuaciones de onda.