¿Cuáles son los mapas lineales que conservan el cono temporal?

reemplazando$GL(4, \mathbb R)$con$M(4, \mathbb R)$tenemos

$${\cal V}:= \{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{if $x\in {\cal T}_+$, then $Mx \in {\cal T}_+$}\}\tag{1}\:,$$ dónde $${\cal T}_+ := \{x \in \mathbb R^4 \:|\: x^T\eta x \geq 0\:, x^0 \geq 0\}$$ de modo que podemos reformular de manera equivalente la definición dada como $${\cal V}:=$$ $$\{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{ $x^T\eta x \geq 0$, $x^0 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x^TM^T\eta Mx \geq 0$, $(Mx)^0 \geq 0$}\}\tag{2}\:.$$

proposición _ Con la definición dada de$\cal V$, resulta ser un cono convexo cerrado del espacio vectorial real $M(4,\mathbb R)$.

PRUEBA. El conjunto es trivialmente un cono, porque, si$M \in \cal V$, entonces$\lambda M \in \cal V$en vista de la definición dada para$\lambda \geq 0$. Establezcamos que también es convexo. Dejar$M, M' \in \cal V$y$p,q \in [0,1]$con$p+q=1$. Si$x\in {\cal T}_+$, entonces$Mx$,$M'x \in {\cal T}_+$por 1). Además, como${\cal T}_+$es convexo, también tiene$pMx+ qM'x \in {\cal T}_+$. Usando (2), este hecho se puede reescribir de manera equivalente como

$$(pMx+ qM'x)^T \eta (pMx+ qM'x) \geq 0\:,$$
eso es $$x^T(pM+ qM')^T \eta (pM+ qM')x \geq 0$$ De manera similar, debido a que el lado izquierdo es la suma de dos números no negativos, $$((pM+qM')x)^0\geq 0\:.$$ Dado que la identidad encontrada se mantiene para cada$x\in {\cal T}_+$, observando (2), hemos demostrado que si$M,M' \in \cal V$y$p,q \in [0,1]$con$p+q=1$, entonces$pM+qM' \in \cal V$. En otras palabras$\cal V$es convexo. Probemos finalmente que$\cal V$es cerrado en la topología natural de$M(4,\mathbb R) \subset \mathbb R^{16}$. Si${\cal V} \ni M_n \to M \in M(4,\mathbb R)$con respecto a dicha topología para$n\to +\infty$, y$x^T\eta x \geq 0$, entonces $$0\leq x^TM_n^T\eta M_nx \to x^TM^T\eta Mx\geq 0$$ ya que todas las operaciones involucradas son continuas y$[0,+\infty)$está cerrado. la condición en$x^0$sobrevive al procedimiento de límite de manera similar. (2) implica que$M \in \cal V$. Desde$\cal V$incluye todos sus puntos límite, debe ser cerrado. QED

APÉNDICE

En cuanto al límite de$\cal V$, tenemos$O(3,1)_+ \subset \partial \cal V$. De hecho, si$\Lambda \in O(3,1)_+$, entonces (a) pertenece a$\cal V$y (b) hay una curva continua que une$\Lambda$y algún punto en$M(4,\mathbb R) \setminus \cal V$. Es

$$[1/2,1]\ni \Lambda_\lambda := \lambda \mapsto \mbox{diag}(\lambda, 1, 1, 1) \Lambda\:.$$ Para cada$\lambda \in [1/2,1)$,$\Lambda_\lambda \not \in \cal V$porque transforma vectores similares a la luz orientados al futuro en vectores similares al espacio. Resumiendo,$\Lambda \in \cal V$, pero$\Lambda \not \in Int(\cal V)$. debe ser$\Lambda \in \partial \cal V$.

Sin embargo, el mismo razonamiento es válido si se reemplaza$\Lambda$con una transformación de dilatación pura$D_z u := z u$con$z>0$fijo, para todos$u \in \mathbb R^4$. Por lo tanto, como$D_z \not \in O(3,1)_+$, tenemos eso$O(3,1)_+ \neq \partial \cal V$.

Composiciones$D_z \Lambda$ciertamente pertenecen a$\partial \cal V$. Sospecho que son los únicos elementos de esa frontera y que (ver la respuesta de Qmechanic) el casco convexo del conjunto de esos elementos coincide con$\cal V$sí mismo.

OP está preguntando sobre 3+1 dimensiones, pero permítanos resolver aquí la construcción correspondiente en 1+1 dimensiones. El resultado dimensional 1+1 se puede utilizar como un modelo de juguete para obtener cierta intuición de lo que podría (o no) sostenerse en dimensiones superiores. Usamos coordenadas de cono de luz $x^{\pm}$.

1. El futuro cono de luz es

   $${\cal T}_+~=~\{(x^+,x^-)\in \mathbb{R}^2 \mid x^{\pm}\geq 0\}.\tag{1}$$ El conjunto $$\begin{align}{\cal V} ~:=~& \{M\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid M({\cal T}_+)\subseteq {\cal T}_+\}\cr ~=~&\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &b\cr c &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,b,c,d\geq 0 \right\} \end{align}\tag{2}$$ es el conjunto de matrices no negativas .

2. El grupo restringido de Lorentz es

   $$SO^+(1,1)~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &a^{-1} \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a>0 \right\}.\tag{3}$$ El casco convexo de$SO^+(1,1)$es $${\rm Conv}(SO^+(1,1))~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,d>0, ad\geq 1 \right\}.\tag{4}$$ El cono convexo cerrado de$SO^+(1,1)$es el conjunto $$\overline{{\rm Convcone}(SO^+(1,1))}~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,d\geq0, \right\}\tag{5}$$ de matrices diagonales con valores propios no negativos.

3. El grupo ortocrono de Lorentz es

   $$O^+(1,1)~=~SO^+(1,1) \cup \left\{ \left.\begin{pmatrix}0 &b\cr b^{-1} &0 \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| b>0 \right\}.\tag{6}$$ El cono convexo cerrado $$\overline{{\rm Convcone}(O^+(1,1))}~=~{\cal V} \tag{7}$$ de$O^+(1,1)$es el conjunto de OP (2).