¿Cuáles son los detalles detrás de la causalidad y las ecuaciones de Maxwell?

Me gustaría señalar con más detalle los problemas en la pregunta que compara la descomposición de Helmholtz puramente matemática de un campo vectorial (casi) arbitrario$\mathbf{E(\mathbf{r})}$a la solución de Coulomb de una distribución de densidad de carga estática de las ecuaciones de Maxwell.

De acuerdo con el teorema de Helmholtz, cualquier campo vectorial$\mathbf{E(\mathbf{r})}$puede descomponerse en un campo vectorial libre de rotaciones (irrotacional)$\mathbf{a(\mathbf{r})}$y un campo libre de divergencia (solenoide)$\mathbf{b(\mathbf{r})}:$

$$\mathbf{E(\mathbf{r})}=\mathbf{a(\mathbf{r})}+\mathbf{b(\mathbf{r})}=-\nabla\phi(\mathbf{r})+\nabla\times \mathbf{A(\mathbf{r})} \tag 1$$ donde $\phi(\mathbf{r})$es un potencial escalar y $\mathbf{A(\mathbf{r})}$es un potencial vectorial, que vienen dados por: $$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla \mathbf{E(\mathbf{r'})}d^3r'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \tag 2$$ y $$\mathbf{A(\mathbf{r})}=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla \times \mathbf{E(\mathbf{r'})}d^3r'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \tag 3$$ Esta descomposición también se puede aplicar a la solución de campo eléctrico de la ecuación de Maxwell en cualquier momento elegido. $t$. Por lo tanto, podría ingresar formalmente el tiempo como parámetro en la descomposición del campo eléctrico, como se ha hecho en la pregunta. Es intrigante que la parte libre de rotaciones de la ecuación de descomposición. (2), que es equivalente a la ec. (1) de la pregunta, se parece a la solución de Coulomb de las ecuaciones de Maxwell para una distribución de carga estática $$\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}=\nabla\mathbf{E(\mathbf{r})}$$ y de hecho es la solución de campo estática e independiente del tiempo de las ecuaciones de Maxwell para una distribución de densidad de carga estática. Pero esto no implica ninguna violación de la causalidad , como se sugiere, porque no hay evolución en el tiempo a partir de esta fórmula matemática a diferencia de la solución de las ecuaciones de Maxwell, que por supuesto obedecen a la causalidad. En realidad, necesita las soluciones causales y dependientes del tiempo de las ecuaciones de Maxwell para descomponerlas en Helmholtz en un momento elegido $t$según las ecs. (1), (2) y (3), que son equivalentes a las fórmulas (2) y (3) de la pregunta (y (4) si también haces la descomposición análoga para el campo magnético).

La "transición a la forma manifiestamente causal de$\mathbf{E}$y$\mathbf{B}$" se logra utilizando las soluciones de campo de la ecuación de Maxwell en la descomposición. Esto no solo garantiza la causalidad en los campos descompuestos sino que también asegura la consistencia con condiciones adicionales físicamente necesarias, como la conservación de la carga.

Creo que tienes la sospecha correcta. Al suponer una dependencia temporal arbitraria de la distribución de carga$\rho(\vec r, t)$, contradices la ley de conservación de la carga

$$div \vec J=-\frac {\partial \rho}{\partial t}$$ Por ejemplo, no puede asumir que una carga puntual surge de la nada en un lugar determinado.

Por lo tanto, su solución de campo eléctrico de la ley de Coulomb correspondiente a una distribución de carga solo puede ser válida, en principio, para una distribución de carga eternamente estática (es decir, independiente del tiempo). También se mantiene aproximadamente a distancias limitadas para cambios lentos de la distribución de carga que son compatibles con la conservación de la carga, como se deduce de las conocidas soluciones retardadas con tiempos finitos de propagación del campo eléctrico. Cuando tiene cargas dependientes del tiempo compatibles con la ecuación de continuidad, también obtiene corrientes (que cambian en el tiempo) y campos magnéticos que debe considerar.

La suposición en la pregunta original, que hay alguna cancelación entre la parte divergente de$\mathbf{E}$y su parte solenoidal es falsa. Se basó en hacer el tipo de construcción prohibida en las preguntas/aclaraciones (escribir el campo solenoidal como campo total menos la parte divergente). En cambio, la expresión para la parte divergente del campo no es única, y es posible una construcción causal usando la ecuación de continuidad para la corriente 4,

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot\mathbf{J} =0. \tag1$$
La forma más fácil de ver que no hay cancelación es mostrar que las ecuaciones que gobiernan la parte solenoidal y divergente de los campos están desacopladas. Comience tomando la derivada temporal de la ecuación de Maxwell de la ley de Coulomb para obtener $\nabla \cdot \partial_t \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \partial_t \rho$. Por la ecuación de continuidad, el lado derecho se convierte en $\nabla\cdot \partial_t\mathbf{E} = -\frac{1}{\epsilon_0} \nabla\cdot\mathbf{J}$. Ahora bien, esto es interesante, porque implica que las partes divergentes de $\partial_t\mathbf{E}$y $\mathbf{J}$son proporcionales, es decir $$\begin{align} \frac{\partial \mathbf{E}_{\mathrm{div}}}{\partial t}& = -\frac{1}{\epsilon_0} \mathbf{J}_{\mathrm{div}}. \tag2 \end{align}$$

La ecuación (2) cambia la forma de las ecuaciones de Maxwell basadas en el rotacional para leer

$$\begin{equation}\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{E}_{\mathrm{sol}} & = - \frac{\partial \mathbf{B}_{\mathrm{sol}}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B}_{\mathrm{sol}} & = \mu_0 \mathbf{J}_{\mathrm{sol}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}}{\partial t}. \end{aligned} \tag3 \end{equation}$$ Como es familiar en los cursos de física de nivel universitario, las ecuaciones en (3) se pueden combinar para formar ecuaciones de onda para $\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$y $\mathbf{B}_{\mathrm{sol}}$con soluciones causales estándar en términos de la función de Green para las mismas.

Entonces, ¿qué sucede con la parte divergente del campo eléctrico? Su ecuación definitoria,

$$\nabla \cdot \mathbf{E}_{\mathrm{div}} = \frac{\rho}{\epsilon_0},$$ no parece permitir la dinámica en absoluto, solo una relación no local que corrige $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$en términos de $\rho$. La clave es que la dinámica proviene de la Ecuación (2). Eso se puede resolver, explícitamente, como $$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t) = \mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},0) - \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^t \mathbf{J}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t') \operatorname{d}t'. \tag4$$ La ecuación (4) es causal: $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$se fija en términos de un conjunto de valores iniciales dentro de su cono de luz que mira hacia atrás en una hipersuperficie similar a un espacio en la base del cono, e influencias dentro del cono. Esto satisface el espíritu de la pregunta, si no la letra.

Eso$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$se puede expresar en términos de la Ecuación (2) de la publicación original o la Ecuación (4) de esta sugiere que debería ser posible deformarse continuamente entre los dos, desde un cono similar al espacio, pasando por la luz y el tiempo. como hasta que el radio de su base cae a cero, reduciendo una integral de volumen a una integral de línea. Mostrando que queda para otra pregunta.

¿Qué hay de la ecuación de onda ?$\mathbf{E}$obedece , lo que implica que la parte divergente de$\mathbf{E}$también obedece a uno. Eso se puede derivar tomando la derivada temporal de la Ecuación (2) y sumando eso a la divergencia del gradiente de (4), siguiendo la pista de la ecuación de continuidad, produce la ecuación de onda de la pregunta vinculada en este párrafo. De manera similar, la divergencia del gradiente de la Ecuación (2) del post original funciona, siempre que desaparezcan los términos superficiales.

Tenga en cuenta que las ecuaciones diferenciales parciales lineales que la parte divergente de$\mathbf{E}$obedece son más estrictas que la ecuación de onda, por lo que la primera puede permitir algunas soluciones que la segunda prohibe.

PD: Esto también responde a la segunda parte original de la pregunta que se consideró demasiado amplia. Como no hay cancelación, solo una expresión causal equivalente para$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$, no hay consecuencias QFT de una cancelación entre$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$y$\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$.