Realmente me gusta euchre, pero apesto a las estadísticas. La última vez que jugamos euchre, la gente obtenía algunas manos locas, y seguíamos diciendo: "¿Cuáles son las probabilidades?"
Así que ahora les pregunto a todos, ¿cuáles son las probabilidades?
Escenario 1:
¿Cuáles son las probabilidades de que te repartan las dos jotas del mismo color, más otras tres cartas del mismo palo y del mismo color? (es decir, Jota de Corazones, Jota de Diamantes, más As, Reina y Diez de Diamantes).
Escenario 2:
¿Cuáles son las probabilidades de que te repartan cuatro de las cartas solicitadas en el Escenario 1, y la quinta carta que necesitas es la carta boca arriba en la pila de 4 cartas restantes?
Escenario 3:
¿Cuáles son las probabilidades de que te repartan las 4 jotas?
Las probabilidades de que un solo jugador obtenga una de las manos anteriores, de una sola mano, son:
A continuación he calculado las probabilidades y también las he simulado para comprobar los cálculos.
También simulé los escenarios para encontrar las probabilidades de que cualquier jugador obtenga una de las manos anteriores, de una sola mano. Creo que esto coincide más estrechamente con las observaciones descritas en la pregunta. Estas probabilidades son:
Una baraja euchre estándar contiene el 9, 10, J, Q, K y A en cada uno de los cuatro palos, haciendo un total de 24 cartas. Cada uno de los cuatro jugadores recibe una mano de cinco cartas y quedan cuatro cartas.
Dividiremos la baraja, D, en las cuatro jotas Jy las otras veinte cartas que no sean jotas N. Nos referimos a la mano del jugador como H, ya las cartas de la mesa como T.
Usamos la notación nCkpara referirnos a la función de Combinaciones ; el número de formas de elegir kelementos de un conjunto de tamaño n.
Nos referimos a la probabilidad de un evento usando la notación P(Event) . Nos referiremos a la probabilidad condicional de que ocurra el evento 2, dado que ocurre el evento 1, con la notación P(Event 2 | Event 1). En varios lugares no declaramos explícitamente que un evento está condicionado a otro evento, pero esperamos que el contexto lo haga obvio cuando este sea el caso.
P(Scenario1) = P(H contains exactly 2 Jacks) * P(The Jacks are the same colour)
* P(3 other cards are same suit) * P(The suit is the same colour as the Jacks)
P(H contains exactly 2 Jacks) = (Ways to pick 2 from J) * (Ways to pick 3 from N)
/ (Ways to pick 5 from D)
= (4C2)(20C3) / (24C5)
= 6*1140 / 42504
P(The Jacks are the same colour) = 1/3
P(3 other cards are same suit) = P(The second card is the same suit as the first)
* P(The third is the same suit as the other two)
= 4/19 * 3/18
P(The suit is the same colour as the Jacks) = 1/2
∴ P(Scenario1) = 6*1140 / 42504 * 1/3 * 4/19 * 3/18 * 1/2
= 5/5313
~= 0.09%
Este cálculo es un poco más sencillo que para el Escenario 1, ya que ya no tenemos que preocuparnos por los palos.
P(Scenario3) = P(H contains exactly 4 Jacks)
= (4C4)(20C1)/(24C5)
= 1*20 / 42504
= 5/10626
~= 0.05%
El escenario 3 es exactamente la mitad de probable que el escenario 1.
Esto es más difícil de calcular. Primero dividimos el cálculo por distribución de H. He escrito d(H)=(3,2)para decir que Hcontiene 3 jotas y 2 no jotas. Tenga en cuenta que solo es posible obtener el escenario 2 si Hcontiene 1, 2 o 3 jotas. Nos referimos al "Escenario 2" en cuanto S2a la brevedad.
P(S2) = P(d(H)=(3,2))P(S2 | d(H)=(3,2)) + P(d(H)=(2,3))P(S2 | d(H)=(2,3))
+ P(d(H)=(1,4))P(S2 | d(H)=(1,4))
P(d(H)=(j,n)) = (4Cj)(20Cn) / (24C5)
Considere el caso donde Hcontiene 3 jotas y 2 no jotas.
P(S2 | d(H)=(3,2)) = P(2 of the Jacks are same colour) * P(2 non-Jacks are same suit)
* P(Suit of non-Jacks is same colour as 2 Jacks)
* P(T contains at least one non-Jack of same suit)
P(2 of the Jacks are same colour) = 1
P(2 non-Jacks are same suit) = 4/19
P(Suit of non-Jacks is same colour as 2 Jacks) = 1/2
P(T contains at least one non-Jack of same suit) = 1 - P(T contains 0 non-Jacks of same suit)
= 1 - 16/19 * 15/18 * 14/17 * 13/16
= 514/969
∴ P(S2 | d(H)=(3,2)) = 1 * 4/19 * 1/2 * 514/969 = 1028/18411
A continuación, considere el caso donde Hcontiene 2 jotas y 3 no jotas. Tratamos los casos en los que las jotas son del mismo color por separado de los casos en los que son diferentes.
P(S2 | d(H)=(2,3)) = P(Jacks are same colour)P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks are same colour)
+ P(Jacks not same colour)P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks not same colour)
= 1/3 P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks are same colour)
+ 2/3 P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks not same colour)
Cuando las jotas son del mismo color, necesitamos exactamente dos de los tres que no son jotas para compartir un palo, y que ese palo sea del mismo color que las jotas.
P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks are same colour) = P(Exactly 2 non-Jacks share a suit)
* P(Suit is same colour as Jacks) * P(T contains at least one non-Jack of same suit)
= (3*(4*15)/(18*19)) * (1/2) * (514/969)
= 2570/18411
Cuando las jotas son de palos diferentes, necesitamos que las tres que no sean jotas compartan un palo.
P(S2 | d(H)=(2,3) and Jacks not same colour)
= P(All 3 non-Jacks share a suit) * P(T contains other Jack of same colour)
= (4*3)/(19*18) * 4/19
= 8/1083
Juntando estos dos casos obtenemos:
P(S2 | d(H)=(2,3)) = 1/3 * 2570/18411 + 2/3 * 8/1083 = 2842/55233
La distribución final de Ha considerar es 1 jota y 4 no jotas.
P(S2 | d(H)=(1,4)) = P(At least 3 non-Jacks share a suit) * P(The Jack is the same colour)
* P(T contains other Jack of same colour)
P(At least 3 non-Jacks share a suit) = (4*4*3*15 + 4*3*2) / (19*18*17) = 124/969
P(The Jack is the same colour) = 1/2
P(T contains other Jack of same colour) = 4/19
∴ P(S2 | d(H)=(1,4)) = 124/969 * 1/2 * 4/19 = 248/18411
Así que poniendo todo eso junto.
P(S2) = (4C3)(20C2)/(24C5) * 1028/18411 + (4C2)(20C3)/(24C5) * 2842/55233
+ (4C1)(20C4)/(24C5) * 248/18411
= 4*190/42504 * 1028/18411 + 6*1140/42504 * 2842/55233 + 4*4845/42504 * 248/18411
= 4670/302841
~= 1.54%
Para comprobar mis cálculos, he escrito un script de Python para evaluar diez millones de transacciones, para ver con qué frecuencia ocurre cada uno de los escenarios. El guión está aquí .
También lo usé para calcular la probabilidad de que cualquiera de los cuatro jugadores satisfaga cada uno de los tres escenarios para un trato determinado. Pensé que esto sería interesante, ya que esto es lo que se observó en la pregunta, aunque en realidad no es la probabilidad que se solicita.
Probability for a single player | Probability across all four players
Scenario1 | Scenario2 | Scenario3 | Scenario1 | Scenario2 | Scenario3
0.0972% | 1.5319% | 0.05 % | 0.3703% | 5.9367% | 0.1748%
0.0927% | 1.519 % | 0.0442% | 0.3716% | 5.9698% | 0.1914%
0.0911% | 1.5607% | 0.0466% | 0.3896% | 5.9523% | 0.187 %
0.096 % | 1.5207% | 0.0442% | 0.3753% | 5.9583% | 0.1853%
0.0946% | 1.5594% | 0.0457% | 0.3711% | 5.9709% | 0.1844%
0.1004% | 1.561 % | 0.0466% | 0.3824% | 6.0065% | 0.1916%
0.0964% | 1.5367% | 0.0476% | 0.3776% | 5.9651% | 0.1882%
0.098 % | 1.563 % | 0.0452% | 0.3775% | 6.0131% | 0.188 %
0.0942% | 1.5385% | 0.0469% | 0.3849% | 6.0205% | 0.1852%
0.0983% | 1.535 % | 0.0418% | 0.3641% | 5.9913% | 0.1931%
-----------------------------------------------------------------------
0.0959% | 1.5426% | 0.0459% | 0.3764% | 5.9785% | 0.1869%
Afortunadamente, la simulación respalda los cálculos.
Llegué a las mismas respuestas que tttppp, pero usé más combinaciones y cuentas, así que tal vez te ayude a entender un poco más la intuición detrás de esto. Para reiterar, una combinación C(n, x) te dice de cuántas formas puedes organizar n objetos de un conjunto (o grupo) de x objetos, donde el orden no importa. Entonces, si tiene elementos a, b, c, una combinación trata el orden (a, b, c) y (c, b, a) de la misma manera (no lo contará dos veces).
Escenario 1: ¿Cuáles son las probabilidades de que te repartan las dos jotas del mismo color, más otras tres cartas del mismo palo y del mismo color? (es decir, Jota de Corazones, Jota de Diamantes, más As, Reina y Diez de Diamantes).
El número total de manos Euchre posibles es C(24, 5) = 42504. Hay 24 cartas Euchre posibles y 5 en una mano. El orden no importa, así que usamos una combinación.
Ahora debemos encontrar el total de formas posibles de obtener dos jotas del mismo color, y luego 3 cartas del mismo color que la primera jota. Hay 2 combinaciones de colores posibles (Jota de corazones y Jota de diamantes, y Jota de picas y Jota de tréboles). El orden no importa para ninguno de los dos. Para cada uno de los dos combos, hay dos opciones de colores para las cartas restantes. (Jota Corazones/Jota Diamantes con 3 Diamantes; Jota Corazones/Jota Diamantes con 3 Corazones, etc.). Hay entonces 5 cartas posibles de cada color para elegir 3 (6 de cada color, y ya elegimos una Jota), así que tenemos:
C(2, 1) * C(2, 1) * C(5, 3) = 2 * 2 * 10 = 40. Hay 40 formas de obtener dos Jotas del mismo color y otras 3 cartas que son las mismo palo que uno de los Jacks, cuando el orden no importa.
Probabilidad del escenario 1 = 40 / 42504 = 5 / 5313 ~= 0,09%
Escenario 3: ¿Cuáles son las probabilidades de que te repartan los 4 jotas?
Para responder a esto, necesitamos responder a la pregunta de ¿cuántas manos hay que tienen 4 jotas? Hay 4 jotas y debes elegir 4 de ellas, así que C(4, 4) = 1. Solo hay una forma de tener 4 jotas en una mano cuando el orden no importa. Quedan 20 cartas y debes elegir 1, por lo que es C(20, 4) = 20. Hay 20 formas de tener una no jota en una mano de 4 jotas. Así que hay 20 formas de formar una mano de 4 jotas y otra carta.
Entonces esto es 20/42504 = 5/10626 ~= 0.047%
Realmente no sé cómo resolver el Escenario 2, por lo que me remito a las respuestas anteriores.
¡ Sorprendentemente, las probabilidades para los escenarios 1 y 3 son las mismas! Las posibilidades de cada uno:
Aquí están los cálculos:
Nota: El orden en que considere las tarjetas en estos cálculos no importa, así que usaré el orden más conveniente posible.
Escenario 1:
Primero, hay 24 cartas en una baraja Euchre. Para calcular el número de manos posibles de Euchre de cinco, se multiplica el número de posibilidades de cada carta: 24 × 23 × 22 × 21 × 20 = 5,100,480.
Luego, debemos averiguar de cuántas formas únicas puede obtener el Escenario 1. Calcularemos el sorteo de esta manera: (I) número de Jotas (4), (II) número de Jotas que coincidan con el color de la primera Jota (1 ), (III) número de cartas restantes (A, K, Q, 10, 9) que coincidan con el color de la jota (10; 5 en cada palo de ese color), (IV) número de cartas restantes que coincidan con el palo de la carta III (4), (V) número de cartas restantes que coinciden con el palo de cartas II y III (3). Esto se calcula como 4 × 1 × 10 × 4 × 3 = 480.
Entonces, la posibilidad de obtener el Escenario 1 es 480 / 5,100,480 = 1 / 10,626.
Escenario 2:
Este es más complicado.
Número de formas de obtener un desajuste al perder una jota: (I) número de jotas (4), (II) número de cartas restantes (A, K, Q, 10, 9) que coinciden con el color de la jota (10; 5 en cada palo de ese color), (III) número de cartas restantes que coinciden con el palo de la carta II (4), (IV) número de cartas restantes que coinciden con el palo de las cartas II y III (3), (V) número de cartas que no completan el conjunto (19). Esto se calcula como 4 × 10 × 4 × 3 × 19 = 9,120.
Número de formas de obtener un desajuste al perder otra carta: (I) número de jotas (4), (II) número de jotas que coinciden con el color de la primera jota (1), (III) número de cartas restantes (A, K , Q, 10, 9) a juego con el color de la jota (10; 5 en cada palo de ese color), (IV) número de cartas restantes que coinciden con el palo de la carta III (4), (V) número de cartas que don No completes el conjunto (17). Esto se calcula como 4 × 10 × 4 × 3 × 17 = 8,160.
Entonces, el número de formas de terminar con cuatro de las cinco cartas en el Escenario 1 es (9,120 + 8,160) / 5,100,480 = 6 / 1,771.
Entonces el número de cartas que coincidirían (3) del número de posibilidades para la carta boca arriba (19) es3 / 19
Entonces, la posibilidad de que ocurran ambos (y, por lo tanto, el Escenario 2) es (6 / 1,771) × (3 / 19) = 18 / 33,649.
Escenario 3:
Número de formas de obtener las cuatro jotas: (I) número de jotas (4), (II) número de jotas restantes (3), (III) número de jotas restantes (2), (IV) número de jotas restantes (1 ), (V) número de tarjetas restantes (20). Esto se calcula como 4 × 3 × 2 × 1 × 20 = 480.
Entonces, las posibilidades de obtener el Escenario 3 son 480 / 5,100,480 = 1 / 10,626.
gregorio tomas
ttppp
Ghoppe
ttppp