Como profesor de física de secundaria, me gusta motivar todos los conceptos y la terminología con la forma en que se desarrollaron históricamente por primera vez. Recientemente investigué un poco sobre la motivación detrás de la introducción del concepto de potencial gravitatorio, pero realmente no pude encontrar ninguna historia clara sobre la historia. ¿Por qué la gente tenía la necesidad de definir esto? Puedo entender el razonamiento para definir un campo gravitatorio, pero no entiendo la necesidad de introducir el potencial gravitatorio. Cualquier explicación a nivel de física de la escuela secundaria sería apreciada.
La teoría de los potenciales tiene más de un siglo de historia desde su concepción hasta el estado actual, por lo que el siguiente es un breve resumen y puede contener errores debido a la suma (además de los errores debido a mi ignorancia, por supuesto).
I- La teoría matemática de los potenciales (información de M. Kline, Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos, vol. 2)
El primer uso de potenciales, incluido el nombre, se deriva de Hydrodinamica (1738) de Daniel Bernoulli. Bernoulli introdujo el concepto al señalar que en las ecuaciones de movimiento de un fluido se podían obtener las fuerzas por diferenciación de una función escalar.
Posteriormente el concepto fue cooptado al estudio de campos gravitatorios de sólidos de revolución por Euler, Lagrange, Laplace y Legendre (entre otros). La idea era que era fácil calcular la fuerza gravitacional producida por una esfera (como lo hizo Newton), pero solo usando argumentos geométricos era difícil para los elipsoides. Así que introdujeron el potencial como una herramienta matemática para calcular primero el potencial y, a partir de él, la fuerza de varios sólidos de revolución. Esto fue impulsado por la investigación sobre la forma de la Tierra, ya que Newton había sugerido que la figura debería ser un esferoide achatado, pero no lo probó.
Después de eso, el concepto fue desarrollado por Green y Gauss a principios del siglo XIX. Ambos estaban ahora ampliando la teoría para abordar problemas eléctricos. Estoy (lamentablemente) omitiendo muchos otros nombres por brevedad, pero la esencia es que desde mediados del siglo XVIII hasta mediados del siglo XIX, los matemáticos introdujeron el potencial como ayuda para el cálculo de las fuerzas para figuras geométricas más complejas.
II- La teoría física de los potenciales (información de Silvanus P. Thompson, Lecciones elementales de electricidad y magnetismo (1884))
El principio de conservación de la energía fue establecido recién en la segunda mitad del siglo XIX por Helmholtz, Thomson, Joules y Mayer. Antes de eso se conocía la conservación de la energía, pero se establecería individualmente para los sistemas en cuestión, solo después de este punto se dio por sentada la convertibilidad de todas las formas de energía mecánica y térmica. Silvanus, de hecho, señala que mientras escribe su libro, todavía es un tema de discusión si la energía eléctrica también se conserva en general.
Menciono esto porque en el libro de Silvanus dedica un capítulo al potencial electrostático, que define como "El potencial en cualquier punto es el trabajo que debe gastarse en una unidad de electricidad positiva para llevarla hasta ese punto desde un infinito". distancia". En una nota a pie de página en la página 193 escribe "En su sentido más amplio, el término "potencial" debe entenderse como "poder para hacer un trabajo". (....) Si levantamos una libra cinco pies de altura contra la fuerza de gravedad, el peso de la libra puede, a su vez, hacer cinco libras-pie de trabajo al volver a caer al suelo. Véase la lección sobre energía en las lecciones de física elemental del profesor Balfour Stewart".
Ahora bien, el libro de Silvanus no es un trabajo de historia, sino más bien un libro de texto temprano e influyente sobre electricidad, pero sin embargo nos permite inferir que a fines del siglo XIX el potencial gravitacional, inicialmente introducido como una herramienta de cálculo, ya se había utilizado. enseñado en términos de "poder para hacer el trabajo". Esto, presumiblemente, debido al deseo de proporcionar discusiones físicas en términos de trabajo/conservación de energía, así como a la fecundidad de nociones derivadas como las líneas equipotenciales que podrían simplificar algunas discusiones.
EDITAR: Me he olvidado por completo del mejor recurso para la historia de la mecánica, R. Dugas "A History of Mechanics". El libro no tiene un índice de materias, pero al leer la tabla de contenido, y por el recuerdo de haberlo leído en el pasado, la primera mención del potencial en general aparece en el capítulo 10 parte 1, acertadamente llamado "Helmholtz y la tesis energética". ".
Según Dugas, Helmholtz introdujo la energía potencial para una fuerza central (ya sea atractiva o repulsiva) en un artículo titulado Sobre la conservación de la fuerza (1847), aunque el nombre Helmholtz se atribuye a Rankine. Helmholtz dice en el artículo que la ventaja de introducir el potencial es que toda la mecánica se reduce a una sola "regla casi popular", que es que en todo movimiento de un cuerpo que interactúa con otro hay una pérdida de energía potencial proporcional a la ganada. energía cinética (y, en consecuencia, velocidad). Entonces, una de las motivaciones principales de Helmholtz parece simplificar las discusiones mecánicas, en lugar de tener las leyes de Newton y el álgebra vectorial, podrías hacer todo con un solo axioma.
Helmholtz también señala que otra ventaja es que el potencial se extiende directamente a cuerpos sólidos y fluidos perfectamente elásticos. La idea aquí es que para cuerpos extensos, sólidos o fluidos, el tratamiento newtoniano requiere que analices las fuerzas en cada parte infinitesimal del cuerpo y luego integres todo para averiguar cuál es el movimiento, pero usando el potencial puedes evitar esto. Un ejemplo sería el principio de Bernoulli, que es trivial cuando se piensa desde un punto de vista potencial versus cinético, pero sería muy difícil de probar usando fuerzas.
III - Conclusión (y disculpas)
Creo que es claro y establecido que el potencial gravitacional se introdujo en un principio como una herramienta matemática. Tomaré la omisión de Kline de la interpretación física como una señal de que la interpretación física no se enfatizó al principio (hago esto porque Kline es un tipo muy minucioso, y otros libros de historia de las matemáticas, como el de Howard Eve, que se relaciona más con la física en puntos , tampoco comenten sobre eso). En algún momento a fines del siglo XIX, tenemos registros de personas que usaron la interpretación física de "poder para hacer un trabajo". Esto parece estar bajo la influencia del principio de conservación de la energía, por lo que las discusiones mecánicas que comenzaron centradas en el análisis de fuerzas dieron paso a un enfoque en el análisis del movimiento en términos de líneas de potencial y trabajo, siguiendo a Helmholtz.Una especulación descabellada sería que en la actualidad introducimos el potencial gravitacional a principios de la escuela secundaria menos por su valor real, sino más como un paralelo para ayudar a los estudiantes a comprender mejor el potencial eléctrico, que se usa mucho más.
En cuanto a las explicaciones de secundaria, desde el punto de vista físico destacaría la capacidad de usar potenciales para evitar tener que hacer análisis de vectores a través de las Leyes de Newton. Por ejemplo, debería ser mucho más fácil mostrar que el potencial gravitacional permite órbitas circulares estables de esta manera. También para discutir la mecánica de fluidos.
Dado que el potencial apareció por primera vez como una herramienta de cálculo, pero sus alumnos no saben cálculo, podría darles una probada usando un modelo análogo con electrostática. Digamos que quieres averiguar las fuerzas gravitatorias producidas por un objeto no esférico, como un esferoide achatado. Dado que el potencial gravitatorio funciona igual que el potencial eléctrico, podría ensamblar un objeto de la forma deseada y cargarlo eléctricamente. Luego, usaría un voltímetro para medir el potencial a través de la superficie del objeto, y listo, conocería la distribución relativa del potencial gravitacional y, por lo tanto, la fuerza, ejercida por una forma arbitraria, sin tener que hacer ningún cálculo.
Hago hincapié en que ninguna de las fuentes afirma nada de esto. Tomé los hechos que proporcionaron y construí una teoría sobre la motivación para el uso del potencial gravitatorio, como se hace en la escuela secundaria moderna, por medio de dos suposiciones, que los primeros matemáticos no se preocuparon por la interpretación física y que físicos posteriores enfatizaron dicha interpretación a la luz de la conservación de la energía. Así que me disculpo por haberlo hecho, lo que devalúa esta respuesta en lo que respecta a la historia de las cosas, pero espero que ayude en su preocupación principal, o como punto de partida para una respuesta real y de origen.
Como estudiante de pregrado que ha estado investigando la historia de la idea de potencial durante los últimos años, puedo asegurarles que es mucho más complejo y fascinante de lo que parece a primera vista. Como no tendrás mucho tiempo para discutirlo en clase, pondré un resumen EXTREMADAMENTE básico aquí.
La idea de potencial se fue construyendo gradualmente a partir de un montón de otras ideas, cuyas raíces se remontan, de una forma u otra, por lo menos al siglo XVIII. Esas ideas se desarrollaron de manera más o menos independiente para ayudar en el estudio de varios temas, en particular, la mecánica de fluidos, la gravitación y las matemáticas de funciones de varias variables. Como dijo Mozibur Ullah, las funciones escalares tienden a ser mucho más fáciles de trabajar que las funciones vectoriales, y podrían usarse para estudiar fenómenos que los métodos basados en encontrar fuerzas y otras cantidades direccionales no podrían abordar bien, como el problema de los tres cuerpos notoriamente difícil. , que se ha abordado con funciones de tipo potencial desde al menos 1777, cuando Lagrange publicó un artículo sobre el tema.
Gradualmente, los investigadores se dieron cuenta de que se podía aplicar al estudio de aún más temas, en particular electricidad, termodinámica, probabilidad, etc. A menudo, las ecuaciones utilizadas en un área eran las mismas que en la otra, y solo cambiaban los significados de las variables. . Esto permitió que los resultados y métodos de varias áreas se usaran en otras aparentemente no relacionadas. Por ejemplo, un teorema trivial en electromagnetismo podría ayudar a predecir (correctamente) un fenómeno no trivial en termodinámica.
La utilidad multidisciplinar de la idea de potencial fue básicamente olvidada después de finales del siglo XIX, en gran parte debido a la invención del álgebra vectorial, que facilitó muchos cálculos en el electromagnetismo clásico, el campo principal donde se usaban los potenciales. no solo hacer, sino también interpretar en términos de fenómenos del mundo real. Sin embargo, los potenciales demostraron ser MUY útiles en el estudio de la Relatividad Especial y, especialmente después del artículo de Aharonov y Bohm, en la Mecánica Cuántica. La gente está empezando a darse cuenta de lo importantes que podrían ser en el futuro.
Si tiene estudiantes que conocen un nivel decente de cálculo, podría recomendarles que lean un artículo de Gauss que vincularé a continuación. Es donde Gauss usa el término "potencial" como sustantivo, para referirse a funciones potenciales.
Algunas de mis fuentes:
https://archive.org/details/generalpropositi00gaus
Grattan-Guinness, I. 1995 ¿Por qué George Green escribió su ensayo de 1828 sobre electricidad y magnetismo?, The American Mathematical Monthly, 102:5, 387-396,
Cross J. (1983) Contribuciones de Euler a la teoría del potencial 1730–1755. En: Leonhard Euler 1707–1783. Birkhäuser Basilea. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9350-3_16
Walter S. (2007) Rompiendo los 4 vectores: el movimiento de cuatro dimensiones en la gravitación, 1905–1910. En: Janssen M., Norton JD, Renn J., Sauer T., Stachel J. (eds) La génesis de la relatividad general. Boston Studies in the Philosophy of Science, vol 250. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-4000-9_18
WHITTAKER, Edmund Taylor. Una historia de las teorías del éter y la electricidad desde la época de Descartes hasta finales del siglo XIX. Prensa de humanidades de Nueva York, 1973
Mientras que los vectores son geniales, los escalares son más simples. El potencial gravitacional es un campo escalar en lugar de un campo vectorial y esto ayudó a manipular las expresiones que los involucraban.
Mientras que los potenciales eran vistos como una reformulación matemática valiosa, los físicos se inclinaban a no verlos directamente como de relevancia física y se pensaba que eran un mero artificio matemático.
Esto fue hasta que el efecto Ahronov-Bohm fue sugerido por primera vez en un artículo de Ahronov & Bohm en 1959. De hecho, como acreditaron más tarde, el efecto ya había sido sugerido una década antes por Ehrenburg & Siday en 1949. Este efecto muestra que un El potencial electromagnético tiene un efecto físico visible en la fase cuántica y esto ahora se ha verificado experimentalmente. La primera verificación reclamada fue realizada por Chambers en 1960, pero esto fue impugnado. La primera confirmación inequívoca fue por Tonamura et al en 1986.
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